Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção:
Do vetor
Do vetor
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e a direção dada pelo vetor
(isto é, o vetor
).
A pergunta é: calcular a derivada direcional de no ponto
na direção do vetor
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A pergunta é: calcular a derivada direcional de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função:
. - Ponto onde se avalia:
. - Vetor direção fornecido:
.
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (aula rápida e prática). A derivada direcional de
num ponto
na direção de um vetor unitário
é dada por
Aqui:
-
é o vetor gradiente de em , isto é, onde e são as derivadas parciais. -
deve ser um vetor unitário (norma igual a ). Se nos dão um vetor qualquer , primeiro normalizamos: .
Explicando em palavras: a derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir do ponto na direção
; o gradiente aponta a direção de maior subida e o produto escalar projeta essa subida na direção desejada.
Passo 3
Normalizar o vetor direção dado
. Calcular sua norma:
Então o vetor unitário na mesma direção é
Observação prática para prova: sempre transforme o vetor direção em unitário antes de usar a fórmula; esquecer isso é erro comum.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Vamos fazer devagar e explicar as regras usadas.
Temos
. Para
(derivada parcial em relação a
) usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- Regra do produto: se
então . - Aqui
e .
Derivando em relação a:
Calculando cada termo:
Portanto
Agora
(derivada parcial em relação a
). Aqui
é constante em relação a
, e usamos regra da cadeia:
Assim
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. Primeiro calcule
nesse ponto:
Sabendo que
e
, substituímos em
e
:
Para
:
Para
:
Logo o gradiente no ponto é
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Interpretação rápida e dica final: o valor positivo
indica que, partindo do ponto
e movendo-se na direção do vetor
, a função
cresce com taxa
por unidade de deslocamento nessa direção. Para a prova, lembre-se: (a) calcule as parciais com calma; (b) avalie no ponto; (c) normalize o vetor direção; (d) faça o produto escalar.