Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^{2} \operatorname{sen}(x y) no ponto \left(1, \frac{\pi}{2}\right) na direção:
Do vetor 2 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}(x y), o ponto \left(1,\frac{\pi}{2}\right) e a direção dada pelo vetor \;2\mathbf{i}+2\mathbf{j} (isto é, o vetor (2,2)).
A pergunta é: calcular a derivada direcional de f no ponto \left(1,\frac{\pi}{2}\right) na direção do vetor (2,2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função: f(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}(x y).
  • Ponto onde se avalia: \left(1,\frac{\pi}{2}\right).
  • Vetor direção fornecido: (2,2).

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (aula rápida e prática). A derivada direcional de f num ponto \mathbf{a}=(a_1,a_2) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(\mathbf{a}) é o vetor gradiente de f em \mathbf{a}, isto é, \nabla f=(f_x,f_y) onde f_x e f_y são as derivadas parciais.
  • \mathbf{u} deve ser um vetor unitário (norma igual a 1). Se nos dão um vetor qualquer \mathbf{v}, primeiro normalizamos: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Explicando em palavras: a derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir do ponto na direção \mathbf{u}; o gradiente aponta a direção de maior subida e o produto escalar projeta essa subida na direção desejada.

Passo 3

Normalizar o vetor direção dado \mathbf{v}=(2,2). Calcular sua norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Então o vetor unitário na mesma direção é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2}{2\sqrt{2}},\frac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Observação prática para prova: sempre transforme o vetor direção em unitário antes de usar a fórmula; esquecer isso é erro comum.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f. Vamos fazer devagar e explicar as regras usadas.
Temos f(x,y)=x^{2}\sin(xy). Para f_x (derivada parcial em relação a x) usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Aqui u(x,y)=x^{2} e v(x,y)=\sin(xy).
    Derivando em relação a x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)\cdot\sin(xy) + x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin(xy)\big).
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(\sin(xy)\big)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
Portanto
f_x = 2x\sin(xy) + x^{2}\,y\cos(xy).
Agora f_y (derivada parcial em relação a y). Aqui x^{2} é constante em relação a y, e usamos regra da cadeia:
f_y = x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin(xy)\big)=x^{2}\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x^{2}\cos(xy)\cdot x.
Assim
f_y = x^{3}\cos(xy).

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto \left(1,\frac{\pi}{2}\right). Primeiro calcule xy nesse ponto:
x y = 1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, substituímos em f_x e f_y:
Para f_x:
f_x\!\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot 1\cdot 1 + 1^{2}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 0 = 2 + 0 = 2.
Para f_y:
f_y\!\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right)=1^{3}\cdot 0 = 0.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla f\!\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right)=\big(2,\,0\big).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
D_{\mathbf{u}}f\!\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right)=\nabla f\!\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right)\cdot\mathbf{u}=(2,0)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f\!\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica final: o valor positivo \sqrt{2} indica que, partindo do ponto \left(1,\tfrac{\pi}{2}\right) e movendo-se na direção do vetor (2,2), a função f cresce com taxa \sqrt{2} por unidade de deslocamento nessa direção. Para a prova, lembre-se: (a) calcule as parciais com calma; (b) avalie no ponto; (c) normalize o vetor direção; (d) faça o produto escalar.

Resposta

\sqrt{2}

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