No ponto (1,2) uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor 2 i+2 j e igual a -3 na direção do vetor i-j, determine:
a) O gradiente da função
b) A derivada direcional na direção do vetor -2 i-2 j
c) A derivada direcional na direção do vetor 4 i+6 j

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações no ponto (1,2):
  • A derivada direcional da função na direção do vetor 2\mathbf{i}+2\mathbf{j} vale 2.
  • A derivada direcional da função na direção do vetor \mathbf{i}-\mathbf{j} vale -3.
O que é pedido:
a) Determinar o gradiente da função em (1,2).
b) Determinar a derivada direcional na direção do vetor -2\mathbf{i}-2\mathbf{j}.
c) Determinar a derivada direcional na direção do vetor 4\mathbf{i}+6\mathbf{j}.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (passo-a-passo didático):
  • O gradiente da função em (1,2) é o vetor \nabla f(1,2). Escrevendo suas componentes como \nabla f(1,2)=(p,q), onde p é a derivada parcial em x e q a derivada parcial em y.
  • A derivada direcional de f em (1,2) na direção de um vetor \mathbf{v} é dada por D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \mathbf{u}, onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.
  • Portanto, se soubermos D_{\mathbf{u}}f(1,2) para duas direções independentes, podemos obter um sistema linear para p e q.
Vou aplicar isso às direções fornecidas.

Passo 3

Primeira direção: \;2\mathbf{i}+2\mathbf{j}.
  • O vetor é (2,2). Seu comprimento é
\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • O vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}_1=\left(\dfrac{2}{2\sqrt{2}},\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • A condição dada é D_{\mathbf{u}_1}f(1,2)=2. Usando \nabla f(1,2)=(p,q),
\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}_1=\dfrac{p+q}{\sqrt{2}}=2.
  • Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} obtemos a primeira equação do sistema:
p+q=2\sqrt{2}.

Passo 4

Segunda direção: \;\mathbf{i}-\mathbf{j}.
  • O vetor é (1,-1). Seu comprimento é
\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • O vetor unitário é
\mathbf{u}_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • A condição dada é D_{\mathbf{u}_2}f(1,2)=-3. Assim,
\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}_2=\dfrac{p-q}{\sqrt{2}}=-3.
  • Multiplicando por \sqrt{2} obtemos a segunda equação:
p-q=-3\sqrt{2}.

Passo 5

Resolver o sistema linear formado por
\begin{cases} p+q=2\sqrt{2},\\[4pt] p-q=-3\sqrt{2}. \end{cases}
  • Somando as duas equações:
2p=(2\sqrt{2})+(-3\sqrt{2})=-\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad p=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Substituindo p em p+q=2\sqrt{2}:
-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+q=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad q=2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.]

Passo 6

Concluir o gradiente: a partir dos valores de p e q,
\nabla f(1,2)=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right).
Explicação intuitiva curta: é o vetor que, ao fazer produto interno com vetores unitários, gera as derivadas direcionais nas respectivas direções.

Passo 7

Item (b): derivada direcional na direção de -2\mathbf{i}-2\mathbf{j}.
  • Note que -2\mathbf{i}-2\mathbf{j} é exatamente o oposto de 2\mathbf{i}+2\mathbf{j}. O vetor unitário nessa direção é -\mathbf{u}_1.
  • A derivada direcional muda de sinal quando invertemos o sentido do vetor, então
D_{(-2, -2)}f(1,2)=-D_{(2,2)}f(1,2)=-2.
Pode também ser verificado pelo produto escalar com o vetor unitário -\mathbf{u}_1.

Passo 8

Item (c): derivada direcional na direção de 4\mathbf{i}+6\mathbf{j}.
  • O vetor é (4,6). Seu comprimento é
\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
  • O vetor unitário é
\mathbf{u}_3=\left(\dfrac{4}{2\sqrt{13}},\dfrac{6}{2\sqrt{13}}\right)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}},\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right).
  • A derivada direcional é o produto escalar \nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}_3. Calculando:
D_{(4,6)}f(1,2)=p\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}}+q\cdot\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{2p+3q}{\sqrt{13}}.
  • Substituindo p=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e q=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}:
2p+3q=2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+3\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}+\dfrac{15\sqrt{2}}{2}=\dfrac{13\sqrt{2}}{2}.
  • Portanto
D_{(4,6)}f(1,2)=\dfrac{\tfrac{13\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{13}}=\dfrac{13\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}.
  • Simplificando:
\dfrac{13\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}.
(uma forma elegante obtida multiplicando numerador e denominador por \sqrt{13} e simplificando).

Resposta

\nabla f(1,2)=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right)
-2
\dfrac{\sqrt{26}}{2}

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