No ponto
uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor
e igual a -3 na direção do vetor
, determine:
a) O gradiente da função
b) A derivada direcional na direção do vetor
c) A derivada direcional na direção do vetor
a) O gradiente da função
b) A derivada direcional na direção do vetor
c) A derivada direcional na direção do vetor
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações no ponto
:
- A derivada direcional da função na direção do vetor
vale . - A derivada direcional da função na direção do vetor
vale .
O que é pedido:
a) Determinar o gradiente da função em .
b) Determinar a derivada direcional na direção do vetor .
c) Determinar a derivada direcional na direção do vetor .
a) Determinar o gradiente da função em
b) Determinar a derivada direcional na direção do vetor
c) Determinar a derivada direcional na direção do vetor
Passo 2
Conceito e fórmula usada (passo-a-passo didático):
- O gradiente da função em
é o vetor . Escrevendo suas componentes como , onde é a derivada parcial em e a derivada parcial em . - A derivada direcional de
em na direção de um vetor é dada por , onde é o vetor unitário na direção de . - Portanto, se soubermos
para duas direções independentes, podemos obter um sistema linear para e .
Vou aplicar isso às direções fornecidas.
Passo 3
Primeira direção:
.
- O vetor é
. Seu comprimento é
- O vetor unitário correspondente é
- A condição dada é
. Usando ,
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a primeira equação do sistema:
Passo 4
Segunda direção:
.
- O vetor é
. Seu comprimento é
- O vetor unitário é
- A condição dada é
. Assim,
- Multiplicando por
obtemos a segunda equação:
Passo 5
Resolver o sistema linear formado por
- Somando as duas equações:
- Substituindo
em :
Passo 6
Concluir o gradiente: a partir dos valores de
e
,
Explicação intuitiva curta: é o vetor que, ao fazer produto interno com vetores unitários, gera as derivadas direcionais nas respectivas direções.
Passo 7
Item (b): derivada direcional na direção de
.
- Note que
é exatamente o oposto de . O vetor unitário nessa direção é . - A derivada direcional muda de sinal quando invertemos o sentido do vetor, então
Pode também ser verificado pelo produto escalar com o vetor unitário
.
Passo 8
Item (c): derivada direcional na direção de
.
- O vetor é
. Seu comprimento é
- O vetor unitário é
- A derivada direcional é o produto escalar
. Calculando:
- Substituindo
e :
- Portanto
- Simplificando:
(uma forma elegante obtida multiplicando numerador e denominador por
e simplificando).