Calcule a derivada direcional partial fpartial u nos seguintes casos:
© f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2) ; P0(1,1,1) e u=-23 i+13 j+23 k.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . A matéria envolvida é cálculo multivariável, mais especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar da definição de derivada direcional e do gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional partial fpartial u = nabla f cdot u é calculada usando o gradiente da função e o vetor direção normalizado. A fórmula é:
Onde representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) da função . O gradiente é o vetor das derivadas parciais:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
Para partial fpartial x = 1x^2 + y^2 + z^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 + z^2 :
partial fpartial y = 2yx^2 + y^2 + z^2
Para partial fpartial z = 2zx^2 + y^2 + z^2 :
Para :

Passo 5

No ponto nabla f(P0) = ( 2 cdot 11^2 + 1^2 + 1^2, 2 cdot 11^2 + 1^2 + 1^2, 2 cdot 11^2 + 1^2 + 1^2 ) = ( 23, 23, 23 ) , substituímos , , na expressão do gradiente:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar partial fpartial u = ( 23, 23, 23 ) cdot ( -23, 13, 23 ) :
= 23 cdot ( -23 ) + 23 cdot 13 + 23 cdot 23
= -49 + 29 + 49 = 29

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção de é .

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