Sabendo que
, calcule
, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. A matéria aqui é cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções trigonométricas e polinomiais se comportam quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
vai para o infinito.
No numerador temos
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Portanto,
sempre fica entre 0 e 1, independente de quão grande seja
.
Já no denominador temos
. Conforme
cresce,
também cresce muito, muito mais rápido do que o 1. Então, o denominador está ficando cada vez maior.
Passo 3
Agora, para entender o limite da função inteira, vamos pensar no que acontece com uma fração onde o numerador é limitado (sempre menor ou igual a 1) e o denominador cresce sem limites.
Quando o denominador de uma fração vai para o infinito e o numerador permanece finito ou limitado, a fração inteira tende a zero. Isso porque estamos dividindo um número que não cresce com outro que cresce sem limites.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
Isso acontece porque, independentemente de como o
oscila, o
cresce tanto que a fração toda acaba se aproximando de zero.