Sabendo que f(x)=sin ^2(x)x^2+1, calcule lim x infty f(x), caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de quando tende ao infinito. A matéria aqui é cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções trigonométricas e polinomiais se comportam quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando vai para o infinito.
No numerador temos . Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Portanto, sempre fica entre 0 e 1, independente de quão grande seja .
Já no denominador temos . Conforme cresce, também cresce muito, muito mais rápido do que o 1. Então, o denominador está ficando cada vez maior.

Passo 3

Agora, para entender o limite da função inteira, vamos pensar no que acontece com uma fração onde o numerador é limitado (sempre menor ou igual a 1) e o denominador cresce sem limites.
Quando o denominador de uma fração vai para o infinito e o numerador permanece finito ou limitado, a fração inteira tende a zero. Isso porque estamos dividindo um número que não cresce com outro que cresce sem limites.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
limx to infty sin^2(x)x^2+1 = 0
Isso acontece porque, independentemente de como o oscila, o cresce tanto que a fração toda acaba se aproximando de zero.

Resposta

limx to infty sin^2(x)x^2+1 = 0

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