Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x^{2} e^{\arctan x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}e^{\arctan x}.
O conteúdo envolve aplicação da regra do produto (derivada de u\cdot v) e da regra da cadeia (derivada de e^{g(x)}).

Passo 2

Vamos separar em
u(x)=x^{2}, \quad v(x)=e^{\arctan x}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivada de u:
u'(x)=\bigl(x^{2}\bigr)'=2x.
Derivada de v usando regra da cadeia:
v'(x)=\bigl(e^{\arctan x}\bigr)' =e^{\arctan x}\,\bigl(\arctan x\bigr)' =e^{\arctan x}\,\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =2x\,e^{\arctan x} + x^{2}\,\Bigl(e^{\arctan x}\,\frac{1}{1+x^{2}}\Bigr) =e^{\arctan x}\Bigl(2x+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\Bigr).
Agora simplificamos o parêntese sobre o mesmo denominador:
2x+\frac{x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{2x(1+x^{2})+x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{2x+2x^{3}+x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{x(2x^{2}+x+2)}{1+x^{2}}.

Passo 5

Logo, a derivada fica
f'(x) =e^{\arctan x} \;\frac{x(2x^{2}+x+2)}{1+x^{2}}.

Resposta

\boxed{f'(x)=\frac{x(2x^{2}+x+2)}{1+x^{2}}\,e^{\arctan x}.}

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