Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\left(1+\arctan \left(x^{2}\right)\right)^{\frac{1}{x^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^{\frac{1}{x^4}}.
O conteúdo aqui é derivação de função com expoente variável, então usaremos log-diferenciação, além da regra da cadeia, da regra do produto e da derivada de \arctan.

Passo 2

Defina y=f(x). Tomando logaritmo natural em ambos os lados, fica
\ln y \;=\;\frac{1}{x^4}\,\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x:
\frac{y'}{y} =\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-4}\,\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)\Bigr).
Aplicamos a regra do produto com
u=x^{-4},\quad u'=-4x^{-5}, \quad v=\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr), \quad v'=\frac{1}{1+\arctan(x^2)}\cdot\frac{2x}{1+x^4} =\frac{2x}{(1+x^4)\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)}.
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\frac{y'}{y} =-4x^{-5}\,\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr) \;+\;x^{-4}\,\frac{2x}{(1+x^4)\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)}.

Passo 4

Podemos escrever
\frac{y'}{y} =-\frac{4\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)}{x^5} +\frac{2}{x^3(1+x^4)\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)}.
Voltando a y=f(x), multiplicamos ambos os lados por y:
y' =f(x)\,\Bigl( -\tfrac{4\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)}{x^5} +\tfrac{2}{x^3(1+x^4)\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)} \Bigr).

Resposta

f'(x) =\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^{\frac{1}{x^4}} \;\Bigl( -\frac{4\ln\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)}{x^5} +\frac{2}{x^3(1+x^4)\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)} \Bigr).

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