Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x \arctan \left(x^{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x\arctan(x^{2}-x). Vamos usar a regra do produto para derivar x\cdot\arctan(x^{2}-x) e a regra da cadeia para \arctan(u).

Passo 2

Identificamos as funções do produto: u(x)=x e v(x)=\arctan(x^{2}-x). A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Calculamos imediatamente u'(x)=1.

Passo 3

Para derivar v(x)=\arctan(x^{2}-x), aplicamos a regra da cadeia: se v(x)=\arctan(u(x)), então
v'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2}-x e u'(x)=2x-1. Logo
v'(x)=\frac{2x-1}{1+(x^{2}-x)^{2}}.

Passo 4

Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x)=1\cdot\arctan(x^{2}-x)+x\cdot\frac{2x-1}{1+(x^{2}-x)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\arctan(x^2-x)+\frac{x(2x-1)}{1+(x^2-x)^2}.

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