Determine as funções inversas, e quando existirem, calcule as suas derivadas e desenhe os seus gráficos:
f_{3}(x)=\operatorname{sen}(x), x \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função f_{3} definida por
f_{3}(x)=\sin(x),\qquad x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right],
e pede:
  • determinar a função inversa f_{3}^{-1} (quando existir);
  • quando existir, calcular a derivada da inversa;
  • desenhar (descrever) os gráficos de f_{3} e de f_{3}^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • domínio de f_{3} é \left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right];
  • fórmula: f_{3}(x)=\sin(x).

Passo 2

Vamos verificar se f_{3} é invertível (isto é, injetora) no domínio dado. Uma forma simples é checar monotonicidade usando a derivada.
A derivada de \sin(x) é \cos(x). Em notação:
f_{3}'(x)=\cos(x).
No intervalo \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right) temos \cos(x)<0 (pois esse intervalo corresponde aos quadrantes II e III, onde o cosseno é negativo). Nos extremos:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0.
Portanto f_{3}'(x)\le 0 no intervalo fechado e estritamente <0 no interior. Isso significa que f_{3} é estritamente decrescente em \left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right], logo é injetora e, consequentemente, existe inversa definida sobre a imagem de f_{3}.
Observação didática rápida: uma função contínua e estritamente monotona num intervalo fechado é invertível; checamos a monotonicidade com a derivada porque é uma maneira rápida e padrão.

Passo 3

Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de f_{3}.
Como \sin atinge \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1, e sendo a função contínua e decrescente no intervalo, a imagem é todo o intervalo fechado
\operatorname{Im}(f_{3})=[-1,1].
Portanto a inversa, quando existir, será uma função que recebe y\in[-1,1] e retorna um x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right].

Passo 4

Achar uma fórmula explícita para a inversa. Se y=\sin(x) e queremos x em função de y, podemos usar a função arco-seno ( \arcsin), mas atenção: \arcsin(y) fornece valores no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], que não coincide com o nosso domínio \left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]. Precisamos ajustar para obter o x correto.
Observação geométrica/ trigonométrica: para qualquer y\in[-1,1] e número \theta=\arcsin(y) (com \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]), a identidade
\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)=y
vale. Se escolhermos x=\pi-\arcsin(y), então x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right] e \sin(x)=y. Verificações rápidas:
  • para y=1: \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2}, então x=\pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2} (correto);
  • para y=0: \arcsin(0)=0, então x=\pi (correto);
  • para y=-1: \arcsin(-1)=-\tfrac{\pi}{2}, então x=\pi-(-\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{3\pi}{2} (correto).
Conclusão: a inversa existe e é dada por
f_{3}^{-1}(y)=\pi-\arcsin(y),\qquad y\in[-1,1].
Explicação didática curta: usamos \arcsin para obter um ângulo cujo seno é y, e como queremos o ângulo na faixa [\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}] (onde seno tem os mesmos valores, mas em ordem decrescente), subtraímos de \pi.

Passo 5

Calcular a derivada de f_{3}^{-1} (quando existir). Há duas maneiras que se completam: derivar a expressão obtida ou usar o teorema da função inversa. Vou mostrar as duas e reconciliá-las.
Método direto (derivando a expressão):
A derivada de \arcsin(y) é conhecida:
\frac{d}{dy}\arcsin(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}},\qquad y\in(-1,1).
Logo, derivando \pi-\arcsin(y) obtemos
\frac{d}{dy}\big(\pi-\arcsin(y)\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}},\qquad y\in(-1,1).
Método pelo teorema da função inversa:
Se y=f_{3}(x)=\sin(x) com x\in\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right), então
\big(f_{3}^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{f_{3}'(x)}=\frac{1}{\cos(x)}.
Para expressar isso em termos de y usamos a identidade pitagórica. Sabendo que x\in\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right) implica \cos(x)\le 0, e há a relação
\cos(x)=\cos\!\big(\pi-\arcsin(y)\big)=-\cos\!\big(\arcsin(y)\big)=-\sqrt{1-y^{2}},
onde em \cos(\arcsin(y)) o valor da raiz quadrada é o positivo \sqrt{1-y^{2}} porque \arcsin(y)\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] (cosseno não negativo aí). Assim
\big(f_{3}^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{-\,\sqrt{1-y^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}},\qquad y\in(-1,1),
coincidindo com o resultado direto.
Observações importantes sobre diferenciabilidade:
  • A derivada de f_{3}^{-1} existe para todo y\in(-1,1).
  • Em y=\pm1 a derivada não existe (a raiz no denominador fica zero), e geometricamente a inversa tem tangentes verticais nessas extremidades (com inclinação infinita negativa). Portanto f_{3}^{-1} é contínua em [-1,1] mas diferencial somente em (-1,1).

Passo 6

Pontos notáveis e checagem de consistência (úteis na prova e no desenho):
  • Valores da função original f_{3}: f_{3}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad f_{3}(\pi)=0,\qquad f_{3}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • Pontos correspondentes da inversa f_{3}^{-1}: f_{3}^{-1}(1)=\tfrac{\pi}{2},\qquad f_{3}^{-1}(0)=\pi,\qquad f_{3}^{-1}(-1)=\tfrac{3\pi}{2}.
  • Sinal da derivada: \big(f_{3}^{-1}\big)'(y)<0 para y\in(-1,1), ou seja, a inversa é estritamente decrescente (como deve ser, pois inversa de função decrescente é também decrescente).

Passo 7

Como desenhar os gráficos (descrição para traçar sem calculadora):
  • Gráfico de f_{3}(x)=\sin(x) em x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]:
    • É a porção da curva seno que vai do ponto \big(\tfrac{\pi}{2},1\big) descendo suavemente através de (\pi,0) e chegando em \big(\tfrac{3\pi}{2},-1\big).
    • A curva é estritamente decrescente e simétrica (em sentido trigonométrico) em torno de x=\pi.
  • Gráfico de f_{3}^{-1}(y)=\pi-\arcsin(y) para y\in[-1,1]:
    • É a reflexão do gráfico de f_{3} em relação à reta y=x.
    • Passa pelos pontos (1,\tfrac{\pi}{2}), (0,\pi), (-1,\tfrac{3\pi}{2}).
    • É uma curva decrescente no segmento y\in[-1,1], com tangente vertical nas extremidades y=\pm1 (declive tende a -\infty).
  • Dica prática para desenhar: trace a reta y=x, desenhe a porção do seno entre os pontos indicados e depois faça a reflexão para obter a inversa; ou desenhe diretamente a função \pi-\arcsin(y) que é a função arco-seno invertida e deslocada por \pi.

Resposta

f_{3}^{-1}(y)=\pi-\arcsin(y),\quad y\in[-1,1]
\big(f_{3}^{-1}\big)'(y)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}},\quad y\in(-1,1)

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