Determine as funções inversas, e quando existirem, calcule as suas derivadas e desenhe os seus gráficos:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- determinar a função inversa
(quando existir); - quando existir, calcular a derivada da inversa;
- desenhar (descrever) os gráficos de
e de .
Informações relevantes fornecidas:
- domínio de
é ; - fórmula:
.
Passo 2
Vamos verificar se
é invertível (isto é, injetora) no domínio dado. Uma forma simples é checar monotonicidade usando a derivada.
A derivada de
é
. Em notação:
No intervalo
temos
(pois esse intervalo corresponde aos quadrantes II e III, onde o cosseno é negativo). Nos extremos:
Portanto
no intervalo fechado e estritamente
no interior. Isso significa que
é estritamente decrescente em
, logo é injetora e, consequentemente, existe inversa definida sobre a imagem de
.
Observação didática rápida: uma função contínua e estritamente monotona num intervalo fechado é invertível; checamos a monotonicidade com a derivada porque é uma maneira rápida e padrão.
Passo 3
Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Como
atinge
e
, e sendo a função contínua e decrescente no intervalo, a imagem é todo o intervalo fechado
Portanto a inversa, quando existir, será uma função que recebe
e retorna um
.
Passo 4
Achar uma fórmula explícita para a inversa. Se
e queremos
em função de
, podemos usar a função arco-seno (
), mas atenção:
fornece valores no intervalo
, que não coincide com o nosso domínio
. Precisamos ajustar para obter o
correto.
Observação geométrica/ trigonométrica: para qualquer
e número
(com
), a identidade
vale. Se escolhermos
, então
e
. Verificações rápidas:
- para
: , então (correto); - para
: , então (correto); - para
: , então (correto).
Conclusão: a inversa existe e é dada por
Explicação didática curta: usamos
para obter um ângulo cujo seno é
, e como queremos o ângulo na faixa
(onde seno tem os mesmos valores, mas em ordem decrescente), subtraímos de
.
Passo 5
Calcular a derivada de
(quando existir). Há duas maneiras que se completam: derivar a expressão obtida ou usar o teorema da função inversa. Vou mostrar as duas e reconciliá-las.
Método direto (derivando a expressão):
A derivada de é conhecida:
A derivada de
Logo, derivando
obtemos
Método pelo teorema da função inversa:
Se com
, então
Se
Para expressar isso em termos de
usamos a identidade pitagórica. Sabendo que
implica
, e há a relação
onde em
o valor da raiz quadrada é o positivo
porque
(cosseno não negativo aí). Assim
coincidindo com o resultado direto.
Observações importantes sobre diferenciabilidade:
- A derivada de
existe para todo . - Em
a derivada não existe (a raiz no denominador fica zero), e geometricamente a inversa tem tangentes verticais nessas extremidades (com inclinação infinita negativa). Portanto é contínua em mas diferencial somente em .
Passo 6
Pontos notáveis e checagem de consistência (úteis na prova e no desenho):
- Valores da função original
: - Pontos correspondentes da inversa
: - Sinal da derivada:
para , ou seja, a inversa é estritamente decrescente (como deve ser, pois inversa de função decrescente é também decrescente).
Passo 7
Como desenhar os gráficos (descrição para traçar sem calculadora):
- Gráfico de
em : - É a porção da curva seno que vai do ponto
descendo suavemente através de e chegando em . - A curva é estritamente decrescente e simétrica (em sentido trigonométrico) em torno de
.
- É a porção da curva seno que vai do ponto
- Gráfico de
para : - É a reflexão do gráfico de
em relação à reta . - Passa pelos pontos
, , . - É uma curva decrescente no segmento
, com tangente vertical nas extremidades (declive tende a ).
- É a reflexão do gráfico de
- Dica prática para desenhar: trace a reta
, desenhe a porção do seno entre os pontos indicados e depois faça a reflexão para obter a inversa; ou desenhe diretamente a função que é a função arco-seno invertida e deslocada por .