Calcule a derivada de f(x)=x^arctg 3 x.

Passo 1

A gente tem a função f(x)=x^arctan(3x). O tema aqui é derivar uma função em que tanto a base x quanto o expoente arctan(3x) dependem de x. Para esse tipo de caso, vamos usar derivação logarítmica.

Passo 2

Definimos y=f(x)=x^arctan(3x) e aplicamos logaritmo natural dos dois lados:
ln y = lnl(x^arctan(3x)r) = arctan(3x),ln x

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, ddx[ln y]=y'y. No lado direito, usamos produto:
y'y = ddx[arctan(3x)]cdotln x + arctan(3x)cdotddx[ln x]

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais: ddx[arctan(3x)]=31+(3x)^2=31+9x^2 e ddx[ln x]=1x. Então:
$$\frac{y

Passo 5

y} = \frac{3}{1+9x^2},\ln x + \arctan(3x)\cdot\frac1x.$$

Passo 6

Por fim, isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e lembrando que y=x^arctan(3x):
y' = x^arctan(3x)l(31+9x^2,ln x + arctan(3x)xr)

Resposta

f'(x)=x^arctan(3x)l(3ln x1+9x^2+arctan(3x)xr).

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