Considere a função f: R R dada por f(x)=clx^2 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0
A função f é contínua em R? Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a função f: RtoR definida por
f(x)= x^2sinl(tfrac1xr), & xneq0, 0, & x=0
Queremos verificar a continuidade em todo R. Vamos precisar do conceito de continuidade (limite igual ao valor da função) e do Teorema do Confronto para o ponto x=0.

Passo 2

Para xneq0, a expressão x^2sin(1/x) é produto e composição de funções elementares contínuas em Rsetminus0. Logo, f é contínua em qualquer ponto x0neq0 por se tratar de combinação de funções contínuas.

Passo 3

No ponto x=0, calculamos
limxto0f(x)=limxto0x^2sinl(tfrac1xr)
Como
l|x^2sinl(tfrac1xr)r|<= x^2
e limxto0x^2=0, pelo Teorema do Confronto temos
limxto0f(x)=0=f(0). Logo f é contínua em x=0.

Resposta

Sim. A função f é contínua em todo R.

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