Resolva conforme o que se pede nos itens abaixo:
Seja y=a+x+b x^2+c x^2 ln (x), a, b, c in R. Verifique que x^3 y^(3)-x^2 y +x y^prime=x. (1 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y=a+x+b x^2+c x^2ln(x)
(com a,b,cin R) satisfaz a equação de Cauchy–Euler
x^3y^(3)-x^2y''+x y'=x
Vamos precisar calcular as derivadas até a terceira e usar regra do produto e derivada de ln(x).

Passo 2

Primeiro calculamos
$$y’=\frac{d}{dx}\bigl(a+x+b x^{2}+c x^{2}\ln(x)\bigr).
y'=ddxl(a+x+b x^2+c x^2ln(x)r) \frac{d}{dx}(x{2}\ln(x))=2x\ln(x)+x{2}\cdot\frac1x=2x\ln(x)+x.
ddx(x)=1y’=1+2b x+c\bigl(2x\ln(x)+x\bigr)=1+(2b+c)x+2c x\ln(x).
$$

Passo 3

Em seguida, a segunda derivada:
y''=ddxl(1+(2b+c)x+2c xln(x)r) =(2b+c)+2cl(ln(x)+1r) =2b+3c+2cln(x)
E a terceira derivada:
$$y^{(3)}=\frac{d}{dx}(2b+3c+2c\ln(x))=2c\cdot\frac1x=\frac{2c}{x}.
$$

Passo 4

Agora montamos cada termo da equação:
x^3y^(3)=x^3cdot2cx=2c x^2,
x^2y''=x^2l(2b+3c+2cln(x)r)=(2b+3c)x^2+2c x^2ln(x),
$$x y’=x\bigl(1+(2b+c)x+2c x\ln(x)\bigr)=x+(2b+c)x^{2}+2c x^{2}\ln(x).
$$

Passo 5

Somando conforme o ODE:
x^3y^(3)-x^2y''+x y' =2c x^2-l[(2b+3c)x^2+2c x^2ln(x)r] +l[x+(2b+c)x^2+2c x^2ln(x)r]
Os termos em x^2ln(x) e em x^2 se cancelam completamente, sobrando apenas
$$x.
$$
Assim mostramos que a equação se reduz a x , como pedido.

Resposta

x

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