Resolva conforme o que se pede nos itens abaixo:
Seja
. Verifique que
. (1 pontos)
Seja
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
(com
Vamos precisar calcular as derivadas até a terceira e usar regra do produto e derivada de
.
Passo 2
Primeiro calculamos
$$y’=\frac{d}{dx}\bigl(a+x+b x^{2}+c x^{2}\ln(x)\bigr).
$$
Passo 3
Em seguida, a segunda derivada:
E a terceira derivada:
$$y^{(3)}=\frac{d}{dx}(2b+3c+2c\ln(x))=2c\cdot\frac1x=\frac{2c}{x}.
$$
Passo 4
Agora montamos cada termo da equação:
$$x y’=x\bigl(1+(2b+c)x+2c x\ln(x)\bigr)=x+(2b+c)x^{2}+2c x^{2}\ln(x).
$$
Passo 5
Somando conforme o ODE:
Os termos em
e em
se cancelam completamente, sobrando apenas
$$x.
$$
Assim mostramos que a equação se reduz a , como pedido.
Assim mostramos que a equação se reduz a