Calcule a derivada.
f(x)=2 x \cot x+x^{2} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 2x\,\cot x + x^{2}\,\tan x.
Para isso, vamos usar a regra do produto (seja u e v funções de x, então (uv)'=u'v+uv') e as derivadas das funções trigonométricas \cot x e \tan x:
\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^{2}x, \qquad \frac{d}{dx}[\tan x] = \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 2x\,\cot x por produto, tomando u=2x e v=\cot x:
u' = 2, \quad v' = -\csc^{2}x,
então
\frac{d}{dx}[2x\,\cot x] = u'v + u\,v' = 2\,\cot x + 2x\,(-\csc^{2}x) = 2\cot x \;-\;2x\,\csc^{2}x.

Passo 3

Derivando o segundo termo x^{2}\,\tan x por produto, com u=x^{2} e v=\tan x:
u' = 2x, \quad v' = \operatorname{sec}^{2}x,
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\frac{d}{dx}[x^{2}\,\tan x] = u'v + u\,v' = 2x\,\tan x + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) = \bigl[2\cot x - 2x\,\csc^{2}x\bigr] + \bigl[2x\,\tan x + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}x\bigr].
Podemos reorganizar como
f'(x) = 2\cot x + 2x\,\tan x - 2x\,\csc^{2}x + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}x.

Resposta

f'(x) = 2\cot x + 2x\,\tan x - 2x\,\csc^{2}x + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}x.

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