Determine f^{\prime}(x) para f(x) igual à expressão dada.
\ln \cos e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(\cos(e^{-x})\bigr).
O conteúdo necessário é a regra da cadeia aplicada às funções logarítmica, trigonométrica e exponencial.

Passo 2

Definimos v(x)=e^{-x}.
Derivando:
v'(x) = -e^{-x}.
Em seguida, seja g(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr).
Pela regra da cadeia:
g'(x) = -\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x) = -\sin\bigl(e^{-x}\bigr)\,(-e^{-x}) = e^{-x}\,\sin\bigl(e^{-x}\bigr).

Passo 3

Por fim, f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr). Usando que (\ln(u))'=u'/u, obtemos
f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{e^{-x}\,\sin\bigl(e^{-x}\bigr)}{\cos\bigl(e^{-x}\bigr)} = e^{-x}\,\tan\bigl(e^{-x}\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-x}\,\tan\bigl(e^{-x}\bigr)

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