Calcule a derivada de:
f(x)=\left(8 x^{3}-2 x^{2}+x-7\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(8 x^{3}-2 x^{2}+x-7\right)^{5}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de uma expressão polinomial: a expressão interna é \,8x^{3}-2x^{2}+x-7.
  • O expoente externo é 5.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: a regra da cadeia. Vou explicar direitinho o que ela diz e o que cada símbolo significa.
Se tivermos uma função composta \,f(x)=g(h(x)), onde:
  • \,h(x) é a função interna (aquela que fica dentro de outra),
  • \,g(u) é a função externa (escrita em termos de uma variável genérica u),
então a derivada de f é
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando: primeiro derivamos a função externa g em relação à sua variável u e avaliamos em u=h(x); depois multiplicamos pelo derivado da função interna h'(x). É como “derivar por fora e multiplicar pela derivada de dentro”.

Passo 3

Aplique a identificação da cadeia para a nossa função:
  • Tome a função interna
u(x)=8x^{3}-2x^{2}+x-7.
  • Tome a função externa (em termos da variável u)
g(u)=u^{5}.
Então podemos escrever f(x)=g(u(x)).

Passo 4

Derive a função externa g(u)=u^{5} em relação a u. Usando a regra do poder (power rule): se g(u)=u^{n} então g'(u)=n u^{n-1}. Aplicando com n=5,
g'(u)=5u^{4}.

Passo 5

Derive a função interna u(x)=8x^{3}-2x^{2}+x-7 termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\big(8x^{3}\big)=8\cdot 3x^{2}=24x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big)=-2\cdot 2x=-4x.
  • \dfrac{d}{dx}\big(x\big)=1.
  • \dfrac{d}{dx}\big(-7\big)=0.
    Portanto
u'(x)=24x^{2}-4x+1.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia: f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo g'(u)=5u^{4} e u(x)=8x^{3}-2x^{2}+x-7, e multiplicando por u'(x),
f'(x)=5\big(8x^{3}-2x^{2}+x-7\big)^{4}\cdot\big(24x^{2}-4x+1\big).
Se preferir uma forma em que o fator 5 já foi distribuído no segundo fator quadrático, podemos escrever também
f'(x)=\big(8x^{3}-2x^{2}+x-7\big)^{4}\cdot\big(120x^{2}-20x+5\big).

Resposta

f'(x)=5\big(8x^{3}-2x^{2}+x-7\big)^{4}\big(24x^{2}-4x+1\big)

Exercícios relacionados