Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma potência de uma expressão polinomial: a expressão interna é
. - O expoente externo é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: a regra da cadeia. Vou explicar direitinho o que ela diz e o que cada símbolo significa.
Se tivermos uma função composta
, onde:
-
é a função interna (aquela que fica dentro de outra), -
é a função externa (escrita em termos de uma variável genérica ),
então a derivada de
é
Explicando: primeiro derivamos a função externa
em relação à sua variável
e avaliamos em
; depois multiplicamos pelo derivado da função interna
. É como “derivar por fora e multiplicar pela derivada de dentro”.
Passo 3
Aplique a identificação da cadeia para a nossa função:
- Tome a função interna
- Tome a função externa (em termos da variável
)
Então podemos escrever
.
Passo 4
Derive a função externa
em relação a
. Usando a regra do poder (power rule): se
então
. Aplicando com
,
Passo 5
Derive a função interna
termo a termo:
-
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia:
.
Substituindo e
, e multiplicando por
,
Substituindo
Se preferir uma forma em que o fator
já foi distribuído no segundo fator quadrático, podemos escrever também