Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
\mathbb{Q} \cap \mathbb{R}=\mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade proposta é verdadeira ou falsa:
\mathbb{Q}\cap\mathbb{R}=\mathbb{Q}.
Informações dadas:
  • \mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais; podemos descrevê‑lo por \mathbb{Q}=\{\tfrac{p}{q}\mid p,q\in\mathbb{Z},\;q\neq0\}.
  • \mathbb{R} é o conjunto dos números reais.
  • A operação \cap é a interseção de conjuntos: para quaisquer conjuntos A e B,
A\cap B=\{x\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\in B\}.
O que se pede: determinar se a igualdade \mathbb{Q}\cap\mathbb{R}=\mathbb{Q} é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Lembra de uma propriedade útil de conjuntos: para quaisquer conjuntos A e B,
A\cap B=A \quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B.
Explicando por que isso vale: se A\subseteq B então todo elemento de A também está em B, logo
A\cap B=\{x\in A\mid x\in B\}=\{x\in A\} = A.
E recíprocamente, se A\cap B=A então cada x\in A pertence a A\cap B, portanto x\in B, logo A\subseteq B.
Essa propriedade nos diz que, para verificar \mathbb{Q}\cap\mathbb{R}=\mathbb{Q}, basta verificar se \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}.

Passo 3

Agora mostramos que \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}.
O conjunto \mathbb{Q} foi definido em \

Passo 4

Em termos simbólicos: se r\in\mathbb{Q} então, por definição/construção dos reais, r\in\mathbb{R}. Assim \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}.
Um exemplo concreto para fixar a ideia: \tfrac{1}{2}\in\mathbb{Q} e também \tfrac{1}{2}\in\mathbb{R}.

Passo 5

Aplicando a propriedade do \

Passo 6

\mathbb{Q}\cap\mathbb{R}=\mathbb{Q}.
Para deixar claro a mecânica das inclusões:
  • Sempre vale que \mathbb{Q}\cap\mathbb{R}\subseteq\mathbb{Q}, porque elementos da interseção pertencem a \mathbb{Q} por definição.
  • Como \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}, cada q\in\mathbb{Q} também pertence a \mathbb{R}, então q\in\mathbb{Q}\cap\mathbb{R}. Assim \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}\cap\mathbb{R}.
    Juntando as duas inclusões obtemos a igualdade.

Passo 7

Resumo didático e motivador: a igualdade é simplesmente a afirmação formal do fato intuitivo de que “todos os racionais já são reais”, então cortar os reais com os racionais não remove nada dos racionais. Se você estiver nervoso na prova, memorize: sempre que A\subseteq B então A\cap B=A — isso resolve rápidas questões como essa.

Resposta

V

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