Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a igualdade entre os dois conjuntos é verdadeira ou falsa. As informações dadas são:
- Conjunto da esquerda:
. - Conjunto da direita:
.
O objetivo é determinar se esses dois conjuntos são iguais (ou seja, se contêm exatamente os mesmos elementos).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa igualdade de conjuntos, de forma prática: dois conjuntos
e
são iguais se, e somente se,
- todo elemento de
pertence a (escreve-se ), e - todo elemento de
pertence a (escreve-se ).
Na prática, para decidir se
podemos:
- encontrar os elementos de cada conjunto (resolver as equações), e
- comparar os elementos; ou mostrar uma das inclusões e depois verificar se a inclusão inversa falha exibindo um contraexemplo.
Passo 3
Resolver a equação da esquerda para achar os elementos do primeiro conjunto:
Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades), obtemos
Portanto
Passo 4
Resolver a equação da direita para achar os elementos do segundo conjunto:
Fatorando a expressão do lado esquerdo, fator comum
:
E
é uma diferença de quadrados, que fatoriza como
. Assim
Uma expressão fatorada igual a zero implica que pelo menos um dos fatores é zero, logo as soluções são
Portanto
Passo 5
Comparando os dois conjuntos obtidos:
Observações úteis:
- Todo elemento de
pertence a . Em termos de inclusão: . (Também se pode ver isso algebricamente: se então .) - Porém, o elemento
pertence ao segundo conjunto e não pertence ao primeiro conjunto , pois . Assim a inclusão inversa falha: .
Como não há inclusão mútua, os conjuntos não são iguais.
Passo 6
Conclusão: a igualdade dada é falsa. Um contraexemplo simples é
, que satisfaz
mas não satisfaz
.
Resposta
F