Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
\left\{x: x^{2}=4\right\}=\left\{x: x^{3}-4 x=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade entre os dois conjuntos é verdadeira ou falsa. As informações dadas são:
  • Conjunto da esquerda: \{x: x^{2}=4\}.
  • Conjunto da direita: \{x: x^{3}-4x=0\}.
O objetivo é determinar se esses dois conjuntos são iguais (ou seja, se contêm exatamente os mesmos elementos).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa igualdade de conjuntos, de forma prática: dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se,
  • todo elemento de A pertence a B (escreve-se A\subseteq B), e
  • todo elemento de B pertence a A (escreve-se B\subseteq A).
Na prática, para decidir se \{x:x^2=4\}=\{x:x^3-4x=0\} podemos:
  • encontrar os elementos de cada conjunto (resolver as equações), e
  • comparar os elementos; ou mostrar uma das inclusões e depois verificar se a inclusão inversa falha exibindo um contraexemplo.

Passo 3

Resolver a equação da esquerda para achar os elementos do primeiro conjunto:
x^{2}=4.
Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades), obtemos
x=\pm 2.
Portanto
\{x: x^{2}=4\}=\{-2,\,2\}.

Passo 4

Resolver a equação da direita para achar os elementos do segundo conjunto:
x^{3}-4x=0.
Fatorando a expressão do lado esquerdo, fator comum x:
x^{3}-4x = x(x^{2}-4).
E x^{2}-4 é uma diferença de quadrados, que fatoriza como (x-2)(x+2). Assim
x^{3}-4x = x(x-2)(x+2).
Uma expressão fatorada igual a zero implica que pelo menos um dos fatores é zero, logo as soluções são
x=0,\quad x=2,\quad x=-2.
Portanto
\{x: x^{3}-4x=0\}=\{-2,\,0,\,2\}.

Passo 5

Comparando os dois conjuntos obtidos:
\{x: x^{2}=4\}=\{-2,\,2\}, \qquad \{x: x^{3}-4x=0\}=\{-2,\,0,\,2\}.
Observações úteis:
  • Todo elemento de \{-2,2\} pertence a \{-2,0,2\}. Em termos de inclusão: \{x:x^2=4\}\subseteq\{x:x^3-4x=0\}. (Também se pode ver isso algebricamente: se x^2=4 então x^3-4x=x(x^2-4)=x\cdot 0=0.)
  • Porém, o elemento 0 pertence ao segundo conjunto \{x:x^3-4x=0\} e não pertence ao primeiro conjunto \{x:x^2=4\}, pois 0^2=0\neq4. Assim a inclusão inversa falha: \{x:x^3-4x=0\}\not\subseteq\{x:x^2=4\}.
Como não há inclusão mútua, os conjuntos não são iguais.

Passo 6

Conclusão: a igualdade dada é falsa. Um contraexemplo simples é x=0, que satisfaz x^{3}-4x=0 mas não satisfaz x^{2}=4.

Resposta

F

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