Calcule a derivada de: f(x)=\ln \left(3 x^{2}+4 x\right)

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\left(3x^{2}+4x\right).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é o logaritmo natural (ln) de uma expressão polinomial \,3x^{2}+4x.
  • Para que f(x) esteja definida, precisamos ter \,3x^{2}+4x>0 (isso será importante ao falar onde a derivada vale).
    A pergunta concreta é: qual é f'(x), a derivada de f em função de x?

Passo 2

Vamos lembrar uma regra fundamental que vamos usar: a derivada do logaritmo natural composta com outra função. Se tivermos uma função g(x)=\ln\big(u(x)\big), então a derivada é dada por
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Por que isso vale? Uma maneira simples de ver é usar que \ln é a função inversa de \exp. Se y=\ln t então t=e^{y}. Derivando ambos os lados em relação a t (tratando y como função de t) obtemos \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{t}. Agora, compondo com t=u(x) e usando a regra da cadeia (que diz que a derivada de uma composição g(u(x)) é g'(u(x))\cdot u'(x)), chegamos a
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando a regra da cadeia de forma bem prática: se uma variável depende de outra que depende de x, a variação total é o produto das variações (derivadas) em cada etapa.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso. Identificamos
u(x)=3x^{2}+4x.
Precisamos então calcular u'(x). Para isso usamos regras simples de derivação de polinômios:
  • Derivada de x^{n} é n x^{n-1} (regra do expoente).
  • Derivada é linear: \dfrac{d}{dx}\big(a\cdot h(x)+b\cdot k(x)\big)=a\,h'(x)+b\,k'(x).
    Aplicando:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 2x=6x,
\frac{d}{dx}\big(4x\big)=4.
Somando,
u'(x)=6x+4.

Passo 4

Usando a fórmula do Passo 2, a derivada de f é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{6x+4}{3x^{2}+4x}.
Podemos fatorar o numerador e o denominador para ver a forma alternativa:
6x+4=2(3x+2),
3x^{2}+4x=x(3x+4).
Assim uma forma equivalente é
f'(x)=\frac{2(3x+2)}{x(3x+4)}.
Observação sobre domínio: a função original exige 3x^{2}+4x>0, então f'(x) só faz sentido (neste contexto) para valores de x que satisfaçam essa desigualdade. Note que onde f está definida, o denominador não é zero, então a fórmula da derivada é válida nesses pontos.

Passo 5

Exemplo numérico rápido só para fixar: em x=1,
f'(1)=\frac{6\cdot 1+4}{3\cdot1^{2}+4\cdot1}=\frac{10}{7}.
Isso mostra como usar a fórmula na prática.

Resposta

f'(x)=\dfrac{6x+4}{3x^{2}+4x}

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