Calcule a derivada de:
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é o logaritmo natural (ln) de uma expressão polinomial
. - Para que
esteja definida, precisamos ter (isso será importante ao falar onde a derivada vale).
A pergunta concreta é: qual é, a derivada de em função de ?
Passo 2
Vamos lembrar uma regra fundamental que vamos usar: a derivada do logaritmo natural composta com outra função. Se tivermos uma função
, então a derivada é dada por
Por que isso vale? Uma maneira simples de ver é usar que
é a função inversa de
. Se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
) obtemos
. Agora, compondo com
e usando a regra da cadeia (que diz que a derivada de uma composição
é
), chegamos a
Explicando a regra da cadeia de forma bem prática: se uma variável depende de outra que depende de
, a variação total é o produto das variações (derivadas) em cada etapa.
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Identificamos
Precisamos então calcular
. Para isso usamos regras simples de derivação de polinômios:
- Derivada de
é (regra do expoente). - Derivada é linear:
.
Aplicando:
Somando,
Passo 4
Usando a fórmula do Passo 2, a derivada de
é
Podemos fatorar o numerador e o denominador para ver a forma alternativa:
Assim uma forma equivalente é
Observação sobre domínio: a função original exige
, então
só faz sentido (neste contexto) para valores de
que satisfaçam essa desigualdade. Note que onde
está definida, o denominador não é zero, então a fórmula da derivada é válida nesses pontos.
Passo 5
Exemplo numérico rápido só para fixar: em
,
Isso mostra como usar a fórmula na prática.