Calcule a derivada de: f(x)=\log 2^{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\log 2^{x^{2}}.
Informações dadas: a função é a função logarítmica aplicada à potência 2^{x^{2}}. Não foi especificada a base do \log, então vamos manter a notação \log e tratar \log 2 como uma constante (a base é a mesma usada no enunciado).

Passo 2

Regra de logaritmos que vamos usar (explicação didática): para quaisquer números positivos a e b e qualquer expoente c vale a identidade
\log\big(a^{c}\big)=c\log a.
Por que isso é verdade (intuição simples): o log transforma potência em produto porque o log é a função inversa da exponenciação. Ex.: \log(2^{3})=\log 8 e pela regra \log(2^{3})=3\log 2. É uma propriedade básica dos logaritmos que você pode usar para simplificar expressões antes de derivar.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso f:
f(x)=\log\big(2^{x^{2}}\big)=x^{2}\log 2.
Aqui \log 2 é uma constante (não depende de x) — anote isso, porque facilita muito a diferenciação.

Passo 4

Regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da potência: a derivada de \,x^{2}\, é \,2x.
  • Regra do fator constante: se c é constante, então a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x).
Aplicando-as em f(x)=x^{2}\log 2 (onde \log 2 é a constante c):
f'(x)=\log 2\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=\log 2\cdot 2x.

Passo 5

Simplificando o resultado:
f'(x)=2x\log 2.
Comentário extra (consistência / alternativa): se você preferir usar a regra da cadeia diretamente com u(x)=2^{x^{2}} e f(x)=\log(u(x)), a conta dá igual: usando \frac{d}{dx}\log_b u=\dfrac{u'}{u\ln b} e \dfrac{d}{dx}2^{x^{2}}=2^{x^{2}}\ln(2)\cdot 2x, ao substituir tudo as 2^{x^{2}} e os \ln se cancelam, sobrando novamente 2x\log_b 2, que é exatamente 2x\log 2 na notação do enunciado.

Resposta

2x\log 2

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