Calcule a derivada de:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é a função logarítmica aplicada à potência
. Não foi especificada a base do
, então vamos manter a notação
e tratar
como uma constante (a base é a mesma usada no enunciado).
Passo 2
Regra de logaritmos que vamos usar (explicação didática): para quaisquer números positivos
e
e qualquer expoente
vale a identidade
Por que isso é verdade (intuição simples): o log transforma potência em produto porque o log é a função inversa da exponenciação. Ex.:
e pela regra
. É uma propriedade básica dos logaritmos que você pode usar para simplificar expressões antes de derivar.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso
:
Aqui
é uma constante (não depende de
) — anote isso, porque facilita muito a diferenciação.
Passo 4
Regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
- Regra da potência: a derivada de
é . - Regra do fator constante: se
é constante, então a derivada de é .
Aplicando-as em
(onde
é a constante
):
Passo 5
Simplificando o resultado:
Comentário extra (consistência / alternativa): se você preferir usar a regra da cadeia diretamente com
e
, a conta dá igual: usando
e
, ao substituir tudo as
e os
se cancelam, sobrando novamente
, que é exatamente
na notação do enunciado.