Calcule a derivada de: f(x)=\log _{5}\left(3 x^{2}+4 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\log_{5}\!\left(3x^{2}+4x\right).
Informações relevantes que temos:
\text{a função interna }u(x)=3x^{2}+4x.çã
\text{o domínio natural exige }3x^{2}+4x>0\quad\text{(isto afetará onde a derivada está definida).}íáá
Pergunta que precisamos responder: calcular f'(x), a derivada de f em pontos do domínio.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade muito útil para logaritmos de base qualquer: a mudança de base
\log_{a}(u)=\frac{\ln(u)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural (base e) e a>0, a\neq1. Aqui a=5, então
f(x)=\frac{\ln\!\left(3x^{2}+4x\right)}{\ln 5}.
Note que \ln 5 é uma constante (número), então ao derivar podemos tratá-la como fator constante. Também precisamos conhecer que a derivada do logaritmo natural é dada por (regra fundamental)
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)},
desde que u(x)>0. Essa fórmula vem da regra da cadeia: derivamos \ln em relação a u e multiplicamos por u'(x).

Passo 3

Calculemos a derivada da função interna u(x)=3x^{2}+4x. Usamos as regras básicas:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 2x=6x,
\frac{d}{dx}\big(4x\big)=4.
Somando,
u'(x)=6x+4.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo com a constante \ln 5 no denominador. Como
f(x)=\frac{\ln\!\big(u(x)\big)}{\ln 5},
temos
f'(x)=\frac{1}{\ln 5}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u(x)=3x^{2}+4x e u'(x)=6x+4, obtemos
f'(x)=\frac{6x+4}{\big(3x^{2}+4x\big)\ln 5}.

Passo 5

Podemos fazer uma pequena simplificação algébrica se quisermos deixar mais “bonito”: fatorando 2 no numerador e x no denominador,
6x+4=2(3x+2),\qquad 3x^{2}+4x=x(3x+4),
logo uma forma equivalente é
f'(x)=\frac{2(3x+2)}{x(3x+4)\ln 5},
válida onde x(3x+4)>0 (mesmo domínio que apontamos antes). Ambas as formas são corretas; escolha a que achar mais clara.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se x=1, então
f'(1)=\frac{6\cdot 1+4}{(3\cdot 1^{2}+4\cdot 1)\ln 5}=\frac{10}{7\ln 5}.
Isso mostra como usar a fórmula na prática.

Resposta

f'(x)=\frac{6x+4}{\big(3x^{2}+4x\big)\ln 5}

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