Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes que temos:
Pergunta que precisamos responder: calcular
, a derivada de
em pontos do domínio.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade muito útil para logaritmos de base qualquer: a mudança de base
onde
é o logaritmo natural (base
) e
,
. Aqui
, então
Note que
é uma constante (número), então ao derivar podemos tratá-la como fator constante. Também precisamos conhecer que a derivada do logaritmo natural é dada por (regra fundamental)
desde que
. Essa fórmula vem da regra da cadeia: derivamos
em relação a
e multiplicamos por
.
Passo 3
Calculemos a derivada da função interna
. Usamos as regras básicas:
Somando,
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo com a constante
no denominador. Como
temos
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Podemos fazer uma pequena simplificação algébrica se quisermos deixar mais “bonito”: fatorando
no numerador e
no denominador,
logo uma forma equivalente é
válida onde
(mesmo domínio que apontamos antes). Ambas as formas são corretas; escolha a que achar mais clara.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
, então
Isso mostra como usar a fórmula na prática.