Calcule a derivada de:
f(x)=x^{\wedge}(\operatorname{sec} (x))

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=x^{\wedge}(\operatorname{sec}(x)). Interpreto isso como a função
f(x)=x^{\operatorname{sec}(x)}.
Informações relevantes dadas:
\text{função: } f(x)=x^{\operatorname{sec}(x)}.çã
Condições importantes (que serão usadas na resolução): para usar logaritmo natural precisamos de \ln(x) bem definido, então consideramos x>0. Além disso \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} só existe quando \cos(x)\neq 0. Portanto a fórmula abaixo será válida para x>0 e \cos(x)\neq 0.

Passo 2

Qual é a ideia para derivar x^{\operatorname{sec}(x)}? Quando a base e o expoente dependem de x ao mesmo tempo, o jeito mais direto é usar diferenciação logarítmica: tomar \ln dos dois lados para “trazer o expoente para baixo” e depois derivar implicitamente. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Começo definindo y=f(x)=x^{\operatorname{sec}(x)} e aplico logaritmo natural em ambos os lados:
y = x^{\operatorname{sec}(x)}
\ln(y)=\ln\big(x^{\operatorname{sec}(x)}\big).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln(a), obtemos
\ln(y)=\operatorname{sec}(x)\,\ln(x).

Passo 4

Agora derivo ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo uso derivada de \ln(y) por diferenciação implícita; no direito precisamos aplicar a regra do produto, pois é \operatorname{sec}(x)\cdot\ln(x).
Regra usada: se y=y(x) então \dfrac{d}{dx}\ln(y)=\dfrac{y'}{y}.
Regra do produto: se u(x)v(x) então \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
Aplicando:
\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(x)\big)\cdot\ln(x)+\operatorname{sec}(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big).

Passo 5

Calculo as derivadas necessárias, explicando como obtê-las:
Derivada de \ln(x): por definição,
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\frac{1}{x}.
Derivada de \operatorname{sec}(x): escrevemos \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e derivamos usando quociente ou usando regra conhecida; fazendo rapidamente com quociente:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(x)\big)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right) =\frac{0\cdot\cos(x)-1\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)} =\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
Reescrevendo \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{1}{\cos(x)}\cdot\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x)\tan(x). Logo
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(x)\big)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 6

Substituo essas derivadas na expressão do Passo 4:
\frac{y'}{y}=\big(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\big)\cdot\ln(x)+\operatorname{sec}(x)\cdot\frac{1}{x}.
Isto é
\frac{y'}{y}=\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,\ln(x)+\frac{\operatorname{sec}(x)}{x}.

Passo 7

Isolo y' multiplicando ambos os lados por y. Lembro que y=x^{\operatorname{sec}(x)}, então:
y'=y\left(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,\ln(x)+\frac{\operatorname{sec}(x)}{x}\right) = x^{\operatorname{sec}(x)}\left(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,\ln(x)+\frac{\operatorname{sec}(x)}{x}\right).
Posso fatorar \operatorname{sec}(x) para ficar mais compacto:
y' = x^{\operatorname{sec}(x)}\operatorname{sec}(x)\left(\tan(x)\,\ln(x)+\frac{1}{x}\right).

Passo 8

Resumo didático dos conceitos usados (para você lembrar na prova):
  • Quando base e expoente dependem de x, tomar \ln facilita: transforma potência em produto.
  • Derivada de \ln(y) com y=y(x) é y'/y (diferenciação implícita).
  • Regra do produto e regra da cadeia foram usadas para derivar \operatorname{sec}(x)\ln(x).
  • Derivadas específicas: \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
    Exemplo rápido parecido: se g(x)=x^x, usando o mesmo procedimento obtém-se g'(x)=x^x(\ln(x)+1) — padrão parecido: potência vira fator multiplicativo.
Força aí: você já tem a técnica para funções da forma x^{u(x)}. Agora só treinar alguns exercícios!

Resposta

f'(x)=x^{\operatorname{sec}(x)}\operatorname{sec}(x)\left(\tan(x)\,\ln(x)+\frac{1}{x}\right)

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