Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
. Interpreto isso como a função
Informações relevantes dadas:
Condições importantes (que serão usadas na resolução): para usar logaritmo natural precisamos de
bem definido, então consideramos
. Além disso
só existe quando
. Portanto a fórmula abaixo será válida para
e
.
Passo 2
Qual é a ideia para derivar
? Quando a base e o expoente dependem de
ao mesmo tempo, o jeito mais direto é usar diferenciação logarítmica: tomar
dos dois lados para “trazer o expoente para baixo” e depois derivar implicitamente. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Começo definindo
e aplico logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Passo 4
Agora derivo ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo uso derivada de
por diferenciação implícita; no direito precisamos aplicar a regra do produto, pois é
.
Regra usada: se
então
.
Regra do produto: se então
.
Regra do produto: se
Aplicando:
Passo 5
Calculo as derivadas necessárias, explicando como obtê-las:
Derivada de
: por definição,
Derivada de
: escrevemos
e derivamos usando quociente ou usando regra conhecida; fazendo rapidamente com quociente:
Reescrevendo
. Logo
Passo 6
Substituo essas derivadas na expressão do Passo 4:
Isto é
Passo 7
Isolo
multiplicando ambos os lados por
. Lembro que
, então:
Posso fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 8
Resumo didático dos conceitos usados (para você lembrar na prova):
- Quando base e expoente dependem de
, tomar facilita: transforma potência em produto. - Derivada de
com é (diferenciação implícita). - Regra do produto e regra da cadeia foram usadas para derivar
. - Derivadas específicas:
e .
Exemplo rápido parecido: se, usando o mesmo procedimento obtém-se — padrão parecido: potência vira fator multiplicativo.
Força aí: você já tem a técnica para funções da forma
. Agora só treinar alguns exercícios!