Calcule o limite:
\lim (x \rightarrow \infty)\left(\left(\sqrt{ }\left(x^{\wedge} 2+3 x\right)-\sqrt{ }\left(x^{\wedge} 2+x\right)\right) / x\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+x}}{x}.
Informações dadas: temos uma diferença entre duas raízes quadradas no numerador e uma divisão por x; o limite é tomado quando x tende para +\infty (valores grandes e positivos de x). Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Escolha do método: aqui temos duas maneiras naturais e elementares para tratar esse tipo de expressão: (A) fatorar x dentro das raízes usando \sqrt{x^{2}}=|x| e aproveitar que para x\to+\infty vale |x|=x; (B) multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para “racionalizar” a diferença de raízes. Vou começar pelo método (A) porque é direto e depois mostro o método (B) como verificação e para obter a equivalência assintótica (útil em provas).

Passo 3

Aplicando o método (A): fatoramos x^{2} dentro de cada raiz. Primeiro escrevemos cada raiz como
\sqrt{x^{2}+3x}=\sqrt{x^{2}\Big(1+\frac{3}{x}\Big)}=|x|\sqrt{1+\frac{3}{x}},
\sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}\Big(1+\frac{1}{x}\Big)}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}.
Como estamos estudando o limite quando x\to+\infty, para x suficientemente grande temos |x|=x. Portanto as equalidades valem com x (positivo) em vez de |x|.

Passo 4

Substituímos essas expressões na fração original:
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+x}}{x} = \frac{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x}.
Agora simplificamos o fator x no numerador com o x do denominador:
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+x}}{x} = \sqrt{1+\frac{3}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}.

Passo 5

Estudando o limite da expressão obtida: quando x\to\infty temos \frac{3}{x}\to 0 e \frac{1}{x}\to 0. A função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, logo podemos passar o limite para dentro das raízes:
\lim_{x\to\infty}\Big(\sqrt{1+\frac{3}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}\Big) = \sqrt{1+0}-\sqrt{1+0}=1-1=0.
Portanto o limite pedido é 0.

Passo 6

Método alternativo (B) — racionalização — para reforçar e obter a ordem de decaimento: multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{x^{2}+x}. Fazendo isso,
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+x}}{x} = \frac{(\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+x})(\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{x^{2}+x})}{x\big(\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{x^{2}+x}\big)} = \frac{(x^{2}+3x)-(x^{2}+x)}{x\big(\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{x^{2}+x}\big)}.
O numerador simplifica para 2x, ficando
\frac{2x}{x\big(\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{x^{2}+x}\big)}=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{x^{2}+x}}.
Para x\to\infty cada raíz cresce como x, então o denominador cresce como 2x e a expressão comporta-se como \dfrac{2}{2x}=\dfrac{1}{x}, que tende a 0. Assim, além de confirmar o limite 0, vemos a equivalência assintótica
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+x}}{x}\sim\frac{1}{x}\quad\text{quando }x\to\infty.

Passo 7

Resumo final do raciocínio: fatorando x das raízes ou racionalizando com o conjugado chegamos à conclusão que a expressão tende a 0 quando x\to\infty. Vou terminar com a resposta final.

Resposta

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