Calcule o limite:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: temos uma diferença entre duas raízes quadradas no numerador e uma divisão por
; o limite é tomado quando
tende para
(valores grandes e positivos de
). Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Escolha do método: aqui temos duas maneiras naturais e elementares para tratar esse tipo de expressão: (A) fatorar
dentro das raízes usando
e aproveitar que para
vale
; (B) multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para “racionalizar” a diferença de raízes. Vou começar pelo método (A) porque é direto e depois mostro o método (B) como verificação e para obter a equivalência assintótica (útil em provas).
Passo 3
Aplicando o método (A): fatoramos
dentro de cada raiz. Primeiro escrevemos cada raiz como
Como estamos estudando o limite quando
, para
suficientemente grande temos
. Portanto as equalidades valem com
(positivo) em vez de
.
Passo 4
Substituímos essas expressões na fração original:
Agora simplificamos o fator
no numerador com o
do denominador:
Passo 5
Estudando o limite da expressão obtida: quando
temos
e
. A função
é contínua em
, logo podemos passar o limite para dentro das raízes:
Portanto o limite pedido é
.
Passo 6
Método alternativo (B) — racionalização — para reforçar e obter a ordem de decaimento: multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado
. Fazendo isso,
O numerador simplifica para
, ficando
Para
cada raíz cresce como
, então o denominador cresce como
e a expressão comporta-se como
, que tende a
. Assim, além de confirmar o limite
, vemos a equivalência assintótica
Passo 7
Resumo final do raciocínio: fatorando
das raízes ou racionalizando com o conjugado chegamos à conclusão que a expressão tende a
quando
. Vou terminar com a resposta final.
Resposta
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