Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: as expressões dentro das raízes são
, e
, e a variável
tende para
(ou seja, valores de
são negativos e muito grandes em valor absoluto). A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia matemática básica que vamos usar: racionalizar a diferença de raízes. A identidade útil é
Ou seja, podemos multiplicar numerador e denominador pela conjugada
para transformar a diferença de raízes numa razão sem raízes no numerador.
Passo 3
Aplicando a racionalização ao nosso caso:
O numerador simplifica usando a identidade do passo anterior:
Passo 4
Agora vamos simplificar as raízes fatorando
:
Explicação:
porque a raiz quadrada de
é sempre não negativa. Como estamos levando
, os valores relevantes de
são negativos, então
.
Passo 5
Substituindo essas expressões na fração do Passo 3, obtemos
Para
temos
, logo a expressão torna-se
onde cancelamos o fator
(válido porque estamos em
,
).
Passo 6
Agora calculamos o limite da expressão obtida. Quando
temos
e
. Pela continuidade da função raiz quadrada nas proximidades de
,
Portanto o denominador da fração tende a
. Assim o limite vale