Calcule o limite:
\lim (x \rightarrow-\infty)\left(\sqrt{ }\left(x^{\wedge} 2+5 x\right)-\sqrt{ }\left(x^{\wedge} 2-7 x\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+5x}-\sqrt{x^{2}-7x}\right).
Informações dadas: as expressões dentro das raízes são \,x^{2}+5x, e \,x^{2}-7x, e a variável x tende para -\infty (ou seja, valores de x são negativos e muito grandes em valor absoluto). A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia matemática básica que vamos usar: racionalizar a diferença de raízes. A identidade útil é
\big(\sqrt{A}-\sqrt{B}\big)\big(\sqrt{A}+\sqrt{B}\big)=A-B.
Ou seja, podemos multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{A}+\sqrt{B} para transformar a diferença de raízes numa razão sem raízes no numerador.

Passo 3

Aplicando a racionalização ao nosso caso:
\sqrt{x^{2}+5x}-\sqrt{x^{2}-7x} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+5x}-\sqrt{x^{2}-7x}\big)\big(\sqrt{x^{2}+5x}+\sqrt{x^{2}-7x}\big)} {\sqrt{x^{2}+5x}+\sqrt{x^{2}-7x}}.
O numerador simplifica usando a identidade do passo anterior:
\frac{(x^{2}+5x)-(x^{2}-7x)}{\sqrt{x^{2}+5x}+\sqrt{x^{2}-7x}} = \frac{12x}{\sqrt{x^{2}+5x}+\sqrt{x^{2}-7x}}.

Passo 4

Agora vamos simplificar as raízes fatorando x^{2}:
\sqrt{x^{2}+5x}=\sqrt{x^{2}\Big(1+\frac{5}{x}\Big)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1+\frac{5}{x}}=|x|\sqrt{1+\frac{5}{x}},
\sqrt{x^{2}-7x}=\sqrt{x^{2}\Big(1-\frac{7}{x}\Big)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1-\frac{7}{x}}=|x|\sqrt{1-\frac{7}{x}}.
Explicação: \sqrt{x^{2}}=|x| porque a raiz quadrada de x^{2} é sempre não negativa. Como estamos levando x\to -\infty, os valores relevantes de x são negativos, então |x|=-x.

Passo 5

Substituindo essas expressões na fração do Passo 3, obtemos
\frac{12x}{|x|\Big(\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1-\frac{7}{x}}\Big)}.
Para x<0 temos |x|=-x, logo a expressão torna-se
\frac{12x}{-x\Big(\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1-\frac{7}{x}}\Big)} = -\frac{12}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1-\frac{7}{x}}},
onde cancelamos o fator x (válido porque estamos em x\to -\infty, x\neq 0).

Passo 6

Agora calculamos o limite da expressão obtida. Quando x\to -\infty temos \frac{5}{x}\to 0 e \frac{-7}{x}\to 0. Pela continuidade da função raiz quadrada nas proximidades de 1,
\sqrt{1+\frac{5}{x}}\to 1,\qquad \sqrt{1-\frac{7}{x}}\to 1.
Portanto o denominador da fração tende a 1+1=2. Assim o limite vale
-\frac{12}{2}=-6.

Resposta

-6

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