Calcule a derivada da função abaixo:
h(t)=(1+tg^4(t / x^2+1))^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(t) = l(1 + tg^4(t/x^2 + 1)r)^3. O conteúdo principal aqui é derivada de funções compostas (regra da cadeia). Vamos precisar identificar as camadas de composição e aplicar a derivada para cada uma delas.

Passo 2

Para organizar, definimos funções auxiliares:
h(t) = [u(t)]^3,
u(t) = 1 + [w(t)]^4,
w(t) = tg(v(t)),
v(t) = tx^2 + 1
Aqui usamos a regra da cadeia: para h(t) = f(u(t)), vale h'(t)=f'(u(t)),u'(t).

Passo 3

Aplicando passo a passo a derivada:
  1. h(t) = [u(t)]^3 implica
h'(t) = 3,[u(t)]^2 ;u'(t)
  1. u(t) = 1 + [w(t)]^4 implica
u'(t) = 4",[w(t)]^3 ;w'(t)
  1. w(t) = tg(v(t)) implica
w'(t) = sec^2(v(t)) ;v'(t)
  1. v(t) = t/x^2 + 1 implica
v'(t) = 1x^2

Passo 4

Agora substituímos tudo de volta em h'(t):
h'(t) = 3,[u(t)]^2 times 4,[w(t)]^3 times sec^2(v(t)) times 1x^2
Lembrando que u(t)=1+tg^4(v(t)), w(t)=tg(v(t)) e v(t)=t/x^2+1, obtemos:
h'(t) = 12x^2,l(1+tg^4l(t/x^2+1r)r)^2 ,tg^3l(t/x^2+1r),sec^2l(t/x^2+1r)

Resposta

h'(t) = 12x^2,(1+tg^4(t/x^2+1))^2,tg^3(t/x^2+1),sec^2(t/x^2+1).

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