A função
é derivável em
? Justifique
Passo 1
O enunciado: verificar se a função
é derivável em
. Estamos na matéria de derivadas de funções envolvendo valor absoluto e vamos usar a definição de derivada em um ponto conferindo os limites laterais do quociente de diferença.
Passo 2
Como a função envolve
, escrevemos num formato piecewise:
Isso facilita calcular as derivadas de cada ramo separadamente.
Passo 3
Checamos a continuidade em 0:
e
Como
, a função é contínua em 0.
Passo 4
Calculamos a derivada lateral direita:
e levando
obtemos
.
Passo 5
Calculamos a derivada lateral esquerda:
e levando
obtemos
.
Passo 6
Como
, concluímos que
é derivável em 0 e
.
Resposta
Sim. A função é derivável em
e
.