A função f(x)=x^2|x|+1 é derivável em x=0? Justifique

Passo 1

O enunciado: verificar se a função f(x)=x^2|x|+1 é derivável em x=0. Estamos na matéria de derivadas de funções envolvendo valor absoluto e vamos usar a definição de derivada em um ponto conferindo os limites laterais do quociente de diferença.

Passo 2

Como a função envolve |x|, escrevemos num formato piecewise:
f(x)= x^3+1, & x>=0, -x^3+1, & x<0
Isso facilita calcular as derivadas de cada ramo separadamente.

Passo 3

Checamos a continuidade em 0:
limxto0+f(x)=limxto0+(x^3+1)=1
e
limxto0-f(x)=limxto0-(-x^3+1)=1
Como f(0)=1, a função é contínua em 0.

Passo 4

Calculamos a derivada lateral direita:
f(h)-f(0)h=(h^3+1)-1h=h^2
e levando hto0^+ obtemos f'+(0)=0.

Passo 5

Calculamos a derivada lateral esquerda:
f(h)-f(0)h=(-h^3+1)-1h=-h^2
e levando hto0^- obtemos f'-(0)=0.

Passo 6

Como f'+(0)=f'-(0)=0, concluímos que f é derivável em 0 e f'(0)=0.

Resposta

Sim. A função é derivável em x=0 e f'(0)=0.

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