Calcule a derivada da função abaixo:
y=cos raizsin (tan (pi x))

Passo 1

O enunciado dá a função
y = cosl(raizsin(tan(pi x))r)
e pede y'=dydx. Vamos usar regra da cadeia em quatro camadas:
  1. y=cos(u) com u=raizv.
  2. v=sin(w).
  3. w=tan(pi x).
  4. dentro de w há a função linear pi x.

Passo 2

Derivando a camada mais externa y=cos(u) pela cadeia, temos
dydx = -sin(u),dudx

Passo 3

Agora u=raizv=v^1/2. Pela regra da potência e cadeia,
dudx = tfrac12,v^-1/2,dvdx = 12raizv;dvdx

Passo 4

Em seguida v=sin(w). Derivando,
dvdx = cos(w),dwdx

Passo 5

Por fim w=tan(pi x). Novamente cadeia com a parte interna pi x,
dwdx = sec^2(pi x),ddx(pi x) = pi,sec^2(pi x)

Passo 6

Juntando tudo:
dydx = -sin(u);12raizv;cos(w);l(pisec^2(pi x)r)
Substituindo u=raizv=raizsin(tan(pi x)) e w=tan(pi x) e v=sin(tan(pi x)),
dydx = -,pi,cosl(tan(pi x)r),sec^2(pi x) 2,raizsin(tan(pi x)); sin!l(raizsin(tan(pi x))r)

Resposta

dydx = -,pi,cosl(tan(pi x)r),sec^2(pi x) 2,raizsin(tan(pi x)); sin!l(raizsin(tan(pi x))r)

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