Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=raiz[n]x^m

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=raiz[n]x^m, considerando m,nin N. Podemos reescrever f(x)=x^m/n, de modo que vamos usar a definição de derivada e a regra da cadeia aplicada a potências.

Passo 2

A definição de derivada de f em x é
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Para simplificar o cálculo, vamos ver f como composição de duas funções:
h(x)=x^m e g(u)=u^1/n, de forma que f(x)=g(h(x)).

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que
f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)
Então precisamos encontrar separadamente h'(x) e g'(u).

Passo 4

Para h(x)=x^m (potência inteira) a regra de potência dá
$$h’(x)=m,x^{m-1}.
h'(x)=m,x^m-1 éêág’(u)=\frac{1}{n},u^{1/n-1}.
$$

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia:
f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)=1nl(h(x)r)^1/n-1cdot m,x^m-1
Como h(x)=x^m, temos
f'(x)=mn,x^m-1cdotl(x^mr)^1/n-1= mn,x^m-1cdot x^m/n-m= mn,x^m/n-1

Resposta

f'(x)=mn,x^mn-1

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