Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=x^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^n usando a definição de derivada. O conteúdo é derivada pela definição (limite do coeficiente de variação) e vamos precisar do Teorema Binomial para expandir (x+h)^n antes de tomar o limite.

Passo 2

A definição de derivada em um ponto c é dada por f’©=lim_{h→0} [f(c+h)-f©]/h. Substituímos f(x)=x^n para obter
[f(c+h)-f©]/h = [(c+h)^n - c^n]/h.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Binomial para expandir (c+h)^n:
(c+h)^n = Σ_{k=0}^n \binom{n}{k} c^{n-k} h^k = c^n + n c^{n-1}h + \binom{n}{2}c{n-2}h2 + … + h^n.

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando c^n:
[(c^n + n c^{n-1}h + … + h^n) - c^n]/h = [n c^{n-1}h + \binom{n}{2}c{n-2}h2 + … + h^n]/h.

Passo 5

Dividindo cada termo por h:
n c^{n-1} + \binom{n}{2}c^{n-2}h + … + h^{n-1}.

Passo 6

Agora tomamos o limite h→0. Todos os termos que têm fator h ou potência de h irão a zero, sobrando apenas n c^{n-1}.
Portanto, pela definição de derivada, temos f’©=n c^{n-1}. Como c é genérico, podemos escrever f’(x)=n x^{n-1}.

Resposta

f’(x) = n x^{n-1}

Exercícios relacionados