Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição: f(x)=x^3; x=53

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = x^{3} $ no ponto $ x = \frac{5}{3} $ usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do conceito de derivadas, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ no ponto $ a $ é dada por:
f(x)
Isso significa que a derivada nos informa quanto a função está mudando naquele ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = x^{3} $ no ponto $ x = \frac{5}{3} $.
Primeiro, identificamos $ a = \frac{5}{3} $. Então, precisamos calcular $ f(a + h) $ e $ f(a) $:
f(x) = x^3
x = 53

Passo 4

Substituindo esses valores na definição da derivada:
f'(53) = limh to 0 (53 + h)^3 - 12527h
Agora, vamos expandir $ \left(\frac{5}{3} + h\right)^{3} $:
(53 + h)^3
(53 + h)^3 = (53)^3 + 3(53)^2h + 3(53)h^2 + h^3
= 12527 + 759h + 153h^2 + h^3

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(53) = limh to 0 (12527 + 759h + 5h^2 + h^3) - 12527h
= limh to 0 759h + 5h^2 + h^3h

Passo 6

Agora, podemos simplificar a fração dividindo cada termo pelo $ h $:
h
Como $ h $ tende a zero, os termos $ 5h $ e $ h^{2} $ também tendem a zero. Portanto, a expressão se simplifica para:
= limh to 0 ( 759 + 5h + h^2 )

Resposta

A derivada da função $ f(x) = x^{3} $ no ponto $ x = \frac{5}{3} $ é $ \frac{25}{3} $.

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