Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = x^{3} $ no ponto $ x = \frac{5}{3} $ usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do conceito de derivadas, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ no ponto $ a $ é dada por:
Isso significa que a derivada nos informa quanto a função está mudando naquele ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = x^{3} $ no ponto $ x = \frac{5}{3} $.
Primeiro, identificamos $ a = \frac{5}{3} $. Então, precisamos calcular $ f(a + h) $ e $ f(a) $:
Passo 4
Substituindo esses valores na definição da derivada:
Agora, vamos expandir $ \left(\frac{5}{3} + h\right)^{3} $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, podemos simplificar a fração dividindo cada termo pelo $ h $:
Como $ h $ tende a zero, os termos $ 5h $ e $ h^{2} $ também tendem a zero. Portanto, a expressão se simplifica para:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = x^{3} $ no ponto $ x = \frac{5}{3} $ é $ \frac{25}{3} $.