Calcule a derivada da função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é dada por
. - O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos reescrever a função de uma forma que facilita derivar usando regras padrão. A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
Explicando a regra que vamos usar (regra da potência): para uma função simples
com
constante, a derivada é
Aqui
. Porém a nossa função não é exatamente
, é uma composição: uma potência aplicada a uma expressão
. Para composições usamos a cadeia (explico no próximo passo).
Passo 3
Regra da cadeia (explicação): se uma função é composição
, onde
depende de
e
é função externa, então a derivada é
Em palavras: derivar a parte externa mantendo a interna, depois multiplicar pela derivada da parte interna. Aqui vamos identificar a parte externa
e a interna
.
Passo 4
Identificamos:
Agora calculamos a derivada de
. Aplicando a regra da potência termo a termo e a derivada de uma constante:
-
(porque a derivada de é ); -
; -
.
Portanto
Passo 5
Agora derivamos a parte externa
. Pela regra da potência com
,
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Vamos escrever isso de forma mais familiar, voltando à raiz quadrada. Como
, temos
Essa é a forma final e limpa da derivada.
Passo 7
Observações importantes para a prova (dica amiga):
- A fórmula acima vale para os valores de
em que a raiz está definida e o denominador não é zero, ou seja, onde . - Se em algum ponto
ocorrer , a derivada dada acima apresenta divisão por zero e, nesse ponto, a função não é diferenciável (normalmente dá tangente vertical ou não existe derivada). - Um exemplo numérico rápido: em um
qualquer onde a expressão dentro da raiz seja positiva, substituir em dá o valor da derivada naquele ponto.