Calcule a derivada da função:
g(x)=\sqrt{x^{3}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\sqrt{x^{3}-2 x+1}.
Informações dadas:
  • A função é dada por g(x)=\sqrt{x^{3}-2 x+1}.
  • O objetivo é encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma forma que facilita derivar usando regras padrão. A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
g(x)=\bigl(x^{3}-2x+1\bigr)^{1/2}.
Explicando a regra que vamos usar (regra da potência): para uma função simples h(x)=x^{a} com a constante, a derivada é
h'(x)=a\,x^{a-1}.
Aqui a=\tfrac{1}{2}. Porém a nossa função não é exatamente x^{a}, é uma composição: uma potência aplicada a uma expressão u(x)=x^{3}-2x+1. Para composições usamos a cadeia (explico no próximo passo).

Passo 3

Regra da cadeia (explicação): se uma função é composição g(x)=f(u(x)), onde u depende de x e f é função externa, então a derivada é
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Em palavras: derivar a parte externa mantendo a interna, depois multiplicar pela derivada da parte interna. Aqui vamos identificar a parte externa f e a interna u.

Passo 4

Identificamos:
u(x)=x^{3}-2x+1, \qquad f(u)=u^{1/2}.
Agora calculamos a derivada de u. Aplicando a regra da potência termo a termo e a derivada de uma constante:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2} (porque a derivada de x^{n} é n x^{n-1});
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr)=-2;
  • \dfrac{d}{dx}(1)=0.
    Portanto
u'(x)=3x^{2}-2.

Passo 5

Agora derivamos a parte externa f(u)=u^{1/2}. Pela regra da potência com a=\tfrac{1}{2},
f'(u)=\frac{1}{2}\,u^{-1/2}.
Aplicando a regra da cadeia:
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{2}\,u(x)^{-1/2}\cdot\bigl(3x^{2}-2\bigr).

Passo 6

Vamos escrever isso de forma mais familiar, voltando à raiz quadrada. Como u(x)^{-1/2}=1/\sqrt{u(x)}, temos
g'(x)=\frac{3x^{2}-2}{2\sqrt{x^{3}-2x+1}}.
Essa é a forma final e limpa da derivada.

Passo 7

Observações importantes para a prova (dica amiga):
  • A fórmula acima vale para os valores de x em que a raiz está definida e o denominador não é zero, ou seja, onde x^{3}-2x+1>0.
  • Se em algum ponto x_{0} ocorrer x_{0}^{3}-2x_{0}+1=0, a derivada dada acima apresenta divisão por zero e, nesse ponto, a função não é diferenciável (normalmente dá tangente vertical ou não existe derivada).
  • Um exemplo numérico rápido: em um x qualquer onde a expressão dentro da raiz seja positiva, substituir em g'(x)=\dfrac{3x^{2}-2}{2\sqrt{x^{3}-2x+1}} dá o valor da derivada naquele ponto.

Resposta

g'(x)=\frac{3x^{2}-2}{2\sqrt{x^{3}-2x+1}}

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