Calcule a derivada de
em relação a
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
em relação a
da função
Informações dadas e observações importantes: a expressão está bem definida para todo
tal que
. O objetivo é obter
(a derivada de
em relação a
).
Passo 2
Escolha do método: há duas abordagens naturais para derivar uma fração como
:
- usar a regra do quociente diretamente, ou
- simplificar a fração algebricamente para evitar a regra do quociente (muitas vezes mais rápido e menos sujeito a erros).
Vou usar a simplificação algébrica porque ela torna a diferenciação mais simples — reduz a expressão a soma de termos cujo cálculo da derivada é direto. Depois eu confirmo o resultado com a regra do quociente para garantir que deu certo.
Passo 3
Simplificar a expressão: reescrevo o numerador como uma soma/subtração envolvendo o denominador para separar um termo constante.
Observação: . Então
Observação:
Dividindo termo a termo:
Como
, obtemos a forma mais simples
Passo 4
Relembrando as regras de derivação que vou usar (com explicação curta e clara):
- derivada de uma constante: se
é constante então . - regra da potência e regra da cadeia (aplicadas a
): se então . Para com constante vale
No nosso caso usaremos
e
, logo
Passo 5
Aplicando as regras à forma simplificada
:
- derivada de
é ; - para
, uso constante multiplicativa e a derivada de :
Portanto
Passo 6
Verificação rápida usando a regra do quociente (confirmação): para
com
e
, a regra do quociente diz
Aqui
e
. Então
que coincide com o resultado obtido antes.
Passo 7
Observação final sobre domínio: o resultado
é válido para todos os
tais que
, que é a condição de existência da função original.