Calcule a derivada de y em relação a x :
\frac{d}{d x}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de y em relação a x da função
y=\frac{x-1}{x+1}.
Informações dadas e observações importantes: a expressão está bem definida para todo x tal que x\neq -1. O objetivo é obter \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Escolha do método: há duas abordagens naturais para derivar uma fração como \dfrac{x-1}{x+1}:
  • usar a regra do quociente diretamente, ou
  • simplificar a fração algebricamente para evitar a regra do quociente (muitas vezes mais rápido e menos sujeito a erros).
Vou usar a simplificação algébrica porque ela torna a diferenciação mais simples — reduz a expressão a soma de termos cujo cálculo da derivada é direto. Depois eu confirmo o resultado com a regra do quociente para garantir que deu certo.

Passo 3

Simplificar a expressão: reescrevo o numerador como uma soma/subtração envolvendo o denominador para separar um termo constante.
Observação: x-1=(x+1)-2. Então
\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}.
Dividindo termo a termo:
\frac{(x+1)-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}.
Como \dfrac{x+1}{x+1}=1, obtemos a forma mais simples
y=1-\frac{2}{x+1}.

Passo 4

Relembrando as regras de derivação que vou usar (com explicação curta e clara):
  • derivada de uma constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}c=0.
  • regra da potência e regra da cadeia (aplicadas a (x+1)^{-1} ): se u(x)=x+1 então \dfrac{d}{dx}u(x)=1. Para u(x)^n com n constante vale
\frac{d}{dx}u(x)^n = n\,u(x)^{n-1}\cdot u'(x).
No nosso caso usaremos n=-1 e u(x)=x+1, logo
\frac{d}{dx}(x+1)^{-1} = -1\,(x+1)^{-2}\cdot 1 = -(x+1)^{-2}.

Passo 5

Aplicando as regras à forma simplificada y=1-\dfrac{2}{x+1}:
  • derivada de 1 é 0;
  • para -\dfrac{2}{x+1}=-2(x+1)^{-1}, uso constante multiplicativa e a derivada de (x+1)^{-1}:
\frac{d}{dx}\left[-2(x+1)^{-1}\right] = -2\cdot\frac{d}{dx}(x+1)^{-1} = -2\cdot\bigl(-(x+1)^{-2}\bigr) = 2(x+1)^{-2}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=0+2(x+1)^{-2} = \frac{2}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida usando a regra do quociente (confirmação): para y=\dfrac{u}{v} com u=x-1 e v=x+1, a regra do quociente diz
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=1 e v'=1. Então
\frac{dy}{dx}=\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1}{(x+1)^{2}} =\frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}} =\frac{2}{(x+1)^{2}},
que coincide com o resultado obtido antes.

Passo 7

Observação final sobre domínio: o resultado \dfrac{2}{(x+1)^{2}} é válido para todos os x tais que x\neq -1, que é a condição de existência da função original.

Resposta

\frac{2}{(x+1)^{2}}

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