Calcule a derivada da função:
f(x)=\left(4 x^{2}+3\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=(4x^{2}+3)^{5}\, e pede a sua derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma potência de uma expressão composta: uma função exterior elevada à quinta potência e uma função interior 4x^{2}+3.
  • Não há outros dados numéricos; apenas calcular a derivada em função de x.

Passo 2

Entender a estrutura da função: ela é uma composição. Vou apresentar a regra que usamos para esse tipo de função e explicar cada termo.
Seja \,u(x)\, uma função diferenciável e n um número real. A regra da cadeia combinada com a regra da potência diz:
\text{Se }h(x)=(u(x))^{n}\text{ então }h'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x).ã
O que isso significa, explicado devagar:
  • u(x) é a “parte de dentro” (no nosso caso u(x)=4x^{2}+3).
  • n é o expoente (no nosso caso n=5).
  • u'(x) é a derivada da parte de dentro; ela multiplica o resultado da regra da potência. É justamente a “corrente” que entra na função externa — por isso multiplicamos pelo u'(x).

Passo 3

Agora aplicamos essa regra ao nosso caso. Primeiro definimos a função interior:
u(x)=4x^{2}+3.
Calculamos u'(x). Usamos a regra da potência simples e a linearidade da derivada:
  • A derivada de \,x^{2}\, é \,2x\,.
  • A constante 4 multiplica, então a derivada de \,4x^{2}\, é \,4\cdot 2x = 8x\,.
  • A derivada da constante \,3\, é \,0.
    Portanto
u'(x)=8x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da regra da cadeia com n=5, u(x)=4x^{2}+3 e u'(x)=8x, obtemos
f'(x)=5\,(4x^{2}+3)^{4}\cdot 8x.
Agora simplificamos os fatores numéricos 5 e 8x:
5\cdot 8x = 40x,
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f'(x)=40x\,(4x^{2}+3)^{4}.

Passo 5

Pequeno check para ganhar confiança: se x=0 temos f'(0)=40\cdot 0\cdot(3)^{4}=0, o que faz sentido porque a função f é uma potência par do termo dominante em x^{2} e tem derivada zero na origem neste caso. Se quiser checar numericamente em outro ponto, por exemplo x=1:
f'(1)=40\cdot 1\cdot(4\cdot 1^{2}+3)^{4}=40\cdot 7^{4}=40\cdot 2401=96040.
Isso confirma que a fórmula está consistente.

Resposta

\,f'(x)=40x\,(4x^{2}+3)^{4}\,

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