Calcule a derivada da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma potência de uma expressão composta: uma função exterior elevada à quinta potência e uma função interior
. - Não há outros dados numéricos; apenas calcular a derivada em função de
.
Passo 2
Entender a estrutura da função: ela é uma composição. Vou apresentar a regra que usamos para esse tipo de função e explicar cada termo.
Seja
uma função diferenciável e
um número real. A regra da cadeia combinada com a regra da potência diz:
O que isso significa, explicado devagar:
-
é a “parte de dentro” (no nosso caso ). -
é o expoente (no nosso caso ). -
é a derivada da parte de dentro; ela multiplica o resultado da regra da potência. É justamente a “corrente” que entra na função externa — por isso multiplicamos pelo .
Passo 3
Agora aplicamos essa regra ao nosso caso. Primeiro definimos a função interior:
Calculamos
. Usamos a regra da potência simples e a linearidade da derivada:
- A derivada de
é . - A constante
multiplica, então a derivada de é . - A derivada da constante
é .
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula da regra da cadeia com
,
e
, obtemos
Agora simplificamos os fatores numéricos
e
:
logo
Passo 5
Pequeno check para ganhar confiança: se
temos
, o que faz sentido porque a função
é uma potência par do termo dominante em
e tem derivada zero na origem neste caso. Se quiser checar numericamente em outro ponto, por exemplo
:
Isso confirma que a fórmula está consistente.