Calcule a derivada da função g(t)=\ln \left(\cos \left(t^{2}+1\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a derivada de \displaystyle g(t)=\ln\bigl(\cos(t^2+1)\bigr).
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia em funções compostas: primeiro a derivada do logaritmo, depois a da cosseno e, por fim, a de t^2+1.

Passo 2

Para a parte do logaritmo usamos a fórmula
\frac{d}{dt}\bigl[\ln(u)\bigr]=\frac{u'}{u},
onde u=u(t). No nosso caso u(t)=\cos(t^2+1), então
g'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)} = \frac{u'(t)}{\cos(t^2+1)}.

Passo 3

Agora precisamos de u'(t) com u(t)=\cos(v) e v(t)=t^2+1. Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(v)\bigr]=-\sin(v)\,v'.
Logo,
u'(t)=-\sin(t^2+1)\,\frac{d}{dt}[t^2+1].

Passo 4

A derivada de t^2+1 é
\frac{d}{dt}[t^2+1]=2t,
portanto
u'(t)=-\sin(t^2+1)\cdot2t = -2t\,\sin(t^2+1).

Passo 5

Substituindo u'(t) em g'(t), obtemos
g'(t) =\frac{-2t\,\sin(t^2+1)}{\cos(t^2+1)} =-2t\,\tan(t^2+1).

Resposta

g'(t)=-2t\,\tan(t^2+1).

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