Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\sqrt{x^{2}+16} no ponto x=3.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x)=\sqrt{x^{2}+16}
no ponto em que x=3.
Conteúdo: derivada de função composta (regra da cadeia) para achar o coeficiente angular, e depois a fórmula da reta tangente
y - y_0 = m\,(x - x_0).

Passo 2

Encontrar o ponto de tangência:
f(3)=\sqrt{3^{2}+16}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo o ponto é \bigl(3,5\bigr).

Passo 3

Calcular f'(x) usando regra da cadeia. Se u=x^{2}+16, então \sqrt{u}'=\tfrac{u'}{2\sqrt{u}} e u'=2x. Assim
f'(x) =\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+16}} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+16}}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=3 para obter o coeficiente angular m:
m=f'(3) =\frac{3}{\sqrt{3^{2}+16}} =\frac{3}{5}.

Passo 5

Escrever a reta tangente passando por (x_0,y_0)=(3,5) com inclinação m=\tfrac{3}{5}:
y-5=\frac{3}{5}\,(x-3).
Se quisermos, simplificamos para a forma y=mx+b:
y=\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}+5 =\frac{3}{5}x+\frac{16}{5}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y-5=\frac{3}{5}(x-3),
ou, em forma explícita,
y=\frac{3}{5}\,x+\frac{16}{5}.

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