Encontre a derivada da função:
f(x)=\frac{e^{x} \sin (x)}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{x}\sin(x)}{x^{2}+1}.
Aqui vamos aplicar a regra do quociente, lembrando que no numerador há um produto g(x)=e^x\sin x, que exige também a regra do produto, e que sabemos as derivadas de \e^x e de \sin x.

Passo 2

Calcular a derivada de g(x)=e^x\sin x pela regra do produto:
g'(x) = (e^x)'\sin x + e^x(\sin x)' = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x\bigl(\sin x + \cos x\bigr).

Passo 3

Calcular a derivada de h(x)=x^2+1:
h'(x) = 2x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x) = \frac{g'(x)\,h(x) - g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}} = \frac{\bigl[e^x(\sin x+\cos x)\bigr](x^2+1)\;-\;(e^x\sin x)(2x)}{(x^2+1)^2}.
Fatorando e^x no numerador:
f'(x) = \frac{e^x\Bigl[(\sin x+\cos x)(x^2+1)-2x\sin x\Bigr]}{(x^2+1)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^x\bigl[(\sin x+\cos x)(x^2+1)-2x\sin x\bigr]}{(x^2+1)^2}.

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