Calcule a derivada da Função Vetorial:
A(t)=(t sin t, t^2 cos t, t^3 sin t cos t).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
A(t) = l(tsin t,;t^2cos t,;t^3sin tcos tr)
Como em toda derivada de função vetorial, vamos derivar cada componente separadamente, usando a regra do produto e as fórmulas
ddtsin t = cos t e ddtcos t = -sin t.

Passo 2

Para a primeira componente x(t)=tsin t, aplicamos a regra do produto com u=t e v=sin t:
x'(t) = u'v + uv' = 1cdotsin t + tcdotcos t = sin t + tcos t

Passo 3

Para a segunda componente y(t)=t^2cos t, usamos u=t^2 e v=cos t:
y'(t) = u'v + uv' = 2tcos t + t^2(-sin t) = 2tcos t - t^2sin t

Passo 4

Para a terceira componente z(t)=t^3sin tcos t, tomamos u=t^3 e v=sin tcos t. Primeiro,
v' = (sin tcos t)' = cos^2t - sin^2t
Logo,
z'(t) = u'v + uv' = 3t^2(sin tcos t) + t^3(cos^2t - sin^2t)

Passo 5

Reunindo todos os resultados, obtemos
A'(t) = l(sin t + tcos t,;2tcos t - t^2sin t,;3t^2sin tcos t + t^3(cos^2t - sin^2t)r)

Resposta

A'(t) = (sin t + tcos t,;2tcos t - t^2sin t,;3t^2sin tcos t + t^3(cos^2t - sin^2t))

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