Exercício 4 (Entregar). Seja F(x, y, z)=x z^3+y z-y+1=0, onde z=f(x, y). Obter
partial zpartial x e partial zpartial y
usando as fórmulas em (*)3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
F(x,y,z)=x,z^3+y,z - y + 1 = 0,
onde z=f(x,y). O conteúdo aqui é diferenciação implícita de funções de duas variáveis, usando a fórmula
partial zpartial x=-FxFz e partial zpartial y=-FyFz,
que chamamos de (*)3.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de F em relação a x, y e z.
Fx = partialpartial x(x,z^3+y,z - y +1) = z^3,
Fy = partialpartial y(x,z^3+y,z - y +1) = z - 1,
Fz = partialpartial z(x,z^3+y,z - y +1) = 3x,z^2 + y

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula (*)3. Para partial z/partial x:
partial zpartial x = -FxFz = -z^33x,z^2 + y
Para partial z/partial y:
partial zpartial y = -FyFz = -z - 13x,z^2 + y

Resposta

partial zpartial x = -z^33x,z^2 + y, partial zpartial y = -z - 13x,z^2 + y

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