Objetivo: Este teste irá guiá-lo no cálculo de integrais definidas em um intervalo genérico
Agora, considere a função f(x)=x^{2} no intervalo [a, b] (assumindo 0 \leq a<b para garantir que a função seja crescente). Usaremos a mesma partição regular P=\left\{t_{0}, t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}.
a) Determine as expressões para o ínfimo ( m_{i} ) e o supremo ( M_{i} ) em cada subintervalo \left[t_{i-1}, t_{i}\right], lembrando que f(x)=x^{2}.
b) Escreva a Soma Superior de Darboux S_{n}=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(t_{i}-t_{i-1}\right) para esta função. Substitua M_{i} \mathrm{e} \left(t_{i}-t_{i-1}\right). Em seguida, expanda o quadrado perfeito e separe a expressão em três somatórios distintos.
c) Utilize as fórmulas das somas (constante, i e i^{2} ) para expressar a Soma Superior S_{n} apenas em função de a, b e n (eliminando o símbolo de somatório).
d) Calcule o limite da Soma Superior quando o número de subintervalos tende para infinito: \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}.
e) (Opcional) Sabendo que a Soma Inferior s_{n} leva ao mesmo limite, escreva a conclusão final: qual é o valor numérico da integral \int_{a}^{b} x^{2} d x ?
Fórmulas Úteis (Somas):
Soma de uma constante c: \sum_{i=1}^{n} c=n \cdot c
Soma dos n primeiros inteiros: \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}
Soma dos quadrados dos n primeiros inteiros: \sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vamos usar (tudo que pegamos do enunciado).
Função: f(x)=x^{2} definida no intervalo [a,b] com 0 \le a < b.
Partição regular P=\{t_0,t_1,\dots,t_n\} do intervalo [a,b]. Como é regular, o comprimento de cada subintervalo é o mesmo; chamarei esse comprimento de \Delta. Assim:
\Delta = \frac{b-a}{n},\qquad t_i = a + i\Delta \quad (i=0,1,\dots,n).
O enunciado pede:
a) determinar o ínfimo m_i e o supremo M_i em cada subintervalo [t_{i-1},t_i];
b) escrever a Soma Superior de Darboux S_n=\sum_{i=1}^n M_i (t_i-t_{i-1}) substituindo M_i e (t_i-t_{i-1}), expandir o quadrado e separar em três somatórios;
c) usar as fórmulas de soma para eliminar os somatórios e expressar S_n só em função de a,b,n;
d) calcular \lim_{n\to\infty} S_n;
e) (opcional) concluir o valor da integral \int_a^b x^2\,dx sabendo que a Soma Inferior converge para o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos decidir m_i e M_i em cada subintervalo [t_{i-1},t_i].
Observação importante sobre a função: para x\ge 0, a função x^2 é crescente (porque derivada 2x\ge0). O enunciado assumiu 0\le a<b, então em todo o intervalo [a,b] temos x\ge0 e, portanto, x^2 é estritamente crescente.
Em um subintervalo [t_{i-1},t_i] de uma função crescente, o mínimo ocorre no ponto esquerdo e o máximo no ponto direito.
Logo:
(Esse último passo vem de desenvolver \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}.)
Passo 6
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Observe que os termos que contêm 1/n ou 1/n^2 tendem a zero quando n\to\infty. Portanto, tomando limite termo a termo na expressão do final do passo anterior:
Interpretação final e conclusão (opcional, Parte e)). Pelo teorema de integração de Riemann/Darboux, se a função é integrável (aqui x^2 é contínua, logo integrável), e as somas superiores S_n e inferiores s_n tendem para o mesmo limite quando a malha da partição vai a zero, esse limite é exatamente o valor da integral definida. O enunciado indica que a Soma Inferior s_n leva ao mesmo limite; portanto:
\int_a^b x^2\,dx = \frac{b^3-a^3}{3}.
Parabéns — esse é o resultado clássico que você deve lembrar para provas: a primitiva de x^2 é x^3/3, então a integral definida entre a e b é \bigl.x^3/3\bigr|_a^b = (b^3-a^3)/3.