A Integral de f(x)=x^{2} em [a, b]
Objetivo: Este teste irá guiá-lo no cálculo de integrais definidas em um intervalo genérico
Agora, considere a função f(x)=x^{2} no intervalo [a, b] (assumindo 0 \leq a<b para garantir que a função seja crescente). Usaremos a mesma partição regular P=\left\{t_{0}, t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}.
a) Determine as expressões para o ínfimo ( m_{i} ) e o supremo ( M_{i} ) em cada subintervalo \left[t_{i-1}, t_{i}\right], lembrando que f(x)=x^{2}.
b) Escreva a Soma Superior de Darboux S_{n}=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(t_{i}-t_{i-1}\right) para esta função. Substitua M_{i} \mathrm{e} \left(t_{i}-t_{i-1}\right). Em seguida, expanda o quadrado perfeito e separe a expressão em três somatórios distintos.
c) Utilize as fórmulas das somas (constante, i e i^{2} ) para expressar a Soma Superior S_{n} apenas em função de a, b e n (eliminando o símbolo de somatório).
d) Calcule o limite da Soma Superior quando o número de subintervalos tende para infinito: \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}.
e) (Opcional) Sabendo que a Soma Inferior s_{n} leva ao mesmo limite, escreva a conclusão final: qual é o valor numérico da integral \int_{a}^{b} x^{2} d x ?
Fórmulas Úteis (Somas):
  • Soma de uma constante c: \sum_{i=1}^{n} c=n \cdot c
  • Soma dos n primeiros inteiros: \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}
  • Soma dos quadrados dos n primeiros inteiros: \sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vamos usar (tudo que pegamos do enunciado).
  • Função: f(x)=x^{2} definida no intervalo [a,b] com 0 \le a < b.
  • Partição regular P=\{t_0,t_1,\dots,t_n\} do intervalo [a,b]. Como é regular, o comprimento de cada subintervalo é o mesmo; chamarei esse comprimento de \Delta. Assim:
\Delta = \frac{b-a}{n},\qquad t_i = a + i\Delta \quad (i=0,1,\dots,n).
O enunciado pede:
a) determinar o ínfimo m_i e o supremo M_i em cada subintervalo [t_{i-1},t_i];
b) escrever a Soma Superior de Darboux S_n=\sum_{i=1}^n M_i (t_i-t_{i-1}) substituindo M_i e (t_i-t_{i-1}), expandir o quadrado e separar em três somatórios;
c) usar as fórmulas de soma para eliminar os somatórios e expressar S_n só em função de a,b,n;
d) calcular \lim_{n\to\infty} S_n;
e) (opcional) concluir o valor da integral \int_a^b x^2\,dx sabendo que a Soma Inferior converge para o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir m_i e M_i em cada subintervalo [t_{i-1},t_i].
  • Observação importante sobre a função: para x\ge 0, a função x^2 é crescente (porque derivada 2x\ge0). O enunciado assumiu 0\le a<b, então em todo o intervalo [a,b] temos x\ge0 e, portanto, x^2 é estritamente crescente.
  • Em um subintervalo [t_{i-1},t_i] de uma função crescente, o mínimo ocorre no ponto esquerdo e o máximo no ponto direito.
    Logo:
m_i = f(t_{i-1}) = (t_{i-1})^2,\qquad M_i = f(t_i) = (t_i)^2.
E lembrando que t_i = a + i\Delta e \Delta = \dfrac{b-a}{n}.

Passo 3

Agora escrevemos a Soma Superior S_n e substituímos M_i e (t_i-t_{i-1}). Por definição:
S_n=\sum_{i=1}^n M_i (t_i-t_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (t_i)^2 \cdot \Delta.
Substituindo t_i=a+i\Delta e expandindo o quadrado perfeito:
(t_i)^2 = (a+i\Delta)^2 = a^2 + 2a i\Delta + i^2 \Delta^2.
Portanto separamos em três somatórios:
S_n = \sum_{i=1}^n \Delta\bigl(a^2 + 2a i\Delta + i^2 \Delta^2\bigr) = \Delta\sum_{i=1}^n a^2 \;+\; \Delta\sum_{i=1}^n 2a i\Delta \;+\; \Delta\sum_{i=1}^n i^2\Delta^2.
Para ficar mais claro agrupando fatores comuns:
S_n = \Delta\Bigl(n a^2 + 2a\Delta\sum_{i=1}^n i + \Delta^2\sum_{i=1}^n i^2\Bigr).

Passo 4

Agora uso as fórmulas das somas indicadas para eliminar os símbolos de somatório. Lembrando:
\sum_{i=1}^n 1 = n,\qquad \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Substituindo essas somas na expressão do passo anterior:
S_n = \Delta\Bigl(n a^2 + 2a\Delta\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \Delta^2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\Bigr).
Simplificando o fator 2 no segundo termo:
S_n = \Delta\Bigl(n a^2 + a\Delta\,n(n+1) + \Delta^2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\Bigr).

Passo 5

Vamos substituir \Delta=\dfrac{b-a}{n} e simplificar cada termo para obter S_n em função apenas de a,b,n.
Termo 1:
\Delta\cdot n a^2 = \frac{b-a}{n}\cdot n a^2 = a^2(b-a).
Termo 2:
\Delta\cdot a\Delta\,n(n+1) = a\,n(n+1)\frac{\Delta^2}{1} = a\,n(n+1)\frac{(b-a)^2}{n^2} = a\frac{n+1}{n}(b-a)^2.
Termo 3:
\Delta\cdot \Delta^2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot \frac{(b-a)^3}{n^3} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}(b-a)^3.
Juntando os três termos:
S_n = a^2(b-a) \;+\; a\frac{n+1}{n}(b-a)^2 \;+\; \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}(b-a)^3.
É possível reescrever os coeficientes para ver a dependência em potências de 1/n. Uma forma útil é:
S_n = a^2(b-a) + a(b-a)^2\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) + (b-a)^3\Bigl(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\Bigr).
(Esse último passo vem de desenvolver \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}.)

Passo 6

Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Observe que os termos que contêm 1/n ou 1/n^2 tendem a zero quando n\to\infty. Portanto, tomando limite termo a termo na expressão do final do passo anterior:
\lim_{n\to\infty} S_n = a^2(b-a) + a(b-a)^2\cdot 1 + (b-a)^3\cdot\frac{1}{3}.
Ou seja,
\lim_{n\to\infty} S_n = a^2(b-a) + a(b-a)^2 + \frac{(b-a)^3}{3}.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão do limite para obter uma forma clássica. Fatore (b-a):
\lim_{n\to\infty} S_n = (b-a)\Bigl(a^2 + a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{3}\Bigr).
Desenvolvendo e agrupando termos (ou usando a identidade da soma de cubos), verifica-se que
(b-a)\Bigl(a^2 + a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{3}\Bigr) = \frac{(b-a)\bigl(b^2+ab+a^2\bigr)}{3} = \frac{b^3-a^3}{3}.
Portanto
\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{b^3-a^3}{3}.

Passo 8

Interpretação final e conclusão (opcional, Parte e)). Pelo teorema de integração de Riemann/Darboux, se a função é integrável (aqui x^2 é contínua, logo integrável), e as somas superiores S_n e inferiores s_n tendem para o mesmo limite quando a malha da partição vai a zero, esse limite é exatamente o valor da integral definida. O enunciado indica que a Soma Inferior s_n leva ao mesmo limite; portanto:
\int_a^b x^2\,dx = \frac{b^3-a^3}{3}.
Parabéns — esse é o resultado clássico que você deve lembrar para provas: a primitiva de x^2 é x^3/3, então a integral definida entre a e b é \bigl.x^3/3\bigr|_a^b = (b^3-a^3)/3.

Resposta

(a) m_i=(t_{i-1})^2,\quad M_i=(t_i)^2, com t_i=a+i\displaystyle\frac{b-a}{n}.
(b) S_n=\sum_{i=1}^n (t_i)^2\Delta = \Delta\sum_{i=1}^n\bigl(a^2+2a i\Delta+i^2\Delta^2\bigr), onde \Delta=\dfrac{b-a}{n}.
(c) S_n = a^2(b-a) + a\displaystyle\frac{n+1}{n}(b-a)^2 + \displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}(b-a)^3.
(d) \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{b^3-a^3}{3}.
(e) \displaystyle\int_a^b x^2\,dx = \frac{b^3-a^3}{3}.

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