Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\cos \left(e^{x}+1\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\cos\!\bigl(e^{x}+1\bigr) e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — um cosseno aplicado à expressão \,e^{x}+1.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se \displaystyle h(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então
h'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • \,g é a função externa (a que aparece por fora),
  • \,u(x) é a função interna (a que é colocada dentro de g),
  • g'(u) é a derivada de g em relação ao argumento u,
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
    Em palavras: derivar uma composição é derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro igual, e multiplicar pela derivada da parte de dentro.

Passo 3

Identificando as partes na nossa função:
  • Função externa: \displaystyle g(u)=\cos(u).
  • Função interna: \displaystyle u(x)=e^{x}+1.
Agora as derivadas conhecidas:
  • Derivada do cosseno: \displaystyle \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u). Aqui \,u é o argumento do cosseno.
  • Derivada da exponencial: \displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada da constante \,1 é \,0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
Primeiro, a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Substituindo u(x)=e^{x}+1 obtemos -\sin\bigl(e^{x}+1\bigr).
Depois multiplicamos pela derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+1\bigr)=\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}1=e^{x}+0=e^{x}.

Passo 5

Juntando tudo pela regra da cadeia:
f'(x)= -\sin\bigl(e^{x}+1\bigr)\cdot e^{x}.
Podemos escrever de forma equivalente e um pouco mais limpa como
f'(x)=-e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}+1\bigr).
Dica rápida: sempre identifique a “parte de fora” (aqui \cos) e a “parte de dentro” (aqui e^{x}+1). Derive a de fora mantendo a de dentro, depois multiplique pela derivada da de dentro — é o padrão que cai em prova com frequência. Você conseguiu!

Resposta

f'(x)=-e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}+1\bigr)

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