Calcule a derivada das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — um cosseno aplicado à expressão .
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — um cosseno aplicado à expressão
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se
, então
Aqui:
-
é a função externa (a que aparece por fora), -
é a função interna (a que é colocada dentro de ), -
é a derivada de em relação ao argumento , -
é a derivada de em relação a .
Em palavras: derivar uma composição é derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro igual, e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
Passo 3
Identificando as partes na nossa função:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Agora as derivadas conhecidas:
- Derivada do cosseno:
. Aqui é o argumento do cosseno. - Derivada da exponencial:
. - Derivada da constante
é .
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
Primeiro, a derivada de em relação a
é
. Substituindo
obtemos
.
Depois multiplicamos pela derivada de :
Primeiro, a derivada de
Depois multiplicamos pela derivada de
Passo 5
Juntando tudo pela regra da cadeia:
Podemos escrever de forma equivalente e um pouco mais limpa como
Dica rápida: sempre identifique a “parte de fora” (aqui
) e a “parte de dentro” (aqui
). Derive a de fora mantendo a de dentro, depois multiplique pela derivada da de dentro — é o padrão que cai em prova com frequência. Você conseguiu!