Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como produto de duas expressões com potências racionais em
.
O que é pedido: - Calcular
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Antes de aplicar regras de derivação, é mais simples tentar simplificar a função usando propriedades de potências. Lembre que para potências com a mesma base vale a regra
para quaisquer
(quando os termos estão bem definidos). Aplicando isso ao produto
obtemos
Portanto podemos expandir
:
Passo 3
Agora usamos a regra básica de derivação para soma/diferença e a regra da potência.
- Regra da soma: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
- Regra da potência (power rule): para qualquer expoente
real (ou racional) vale
Aqui também usaremos que a derivada de
é
e a derivada de uma constante multiplicativa
é
vezes a derivada da função (linearidade).
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo em
:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo usando a regra da potência com
:
Subtraindo, a derivada da função é
Passo 5
Interpretação e forma equivalente:
- A expressão
significa . Então uma forma equivalente é
- Outra forma que pode ser útil para evitar expoentes negativos é colocar em única fração:
- Observação sobre domínio: a derivada escrita com
não está definida em . A própria função está definida em (pois ), mas não existe em porque o termo diverge aí.