Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
y=x^{2 / 3}\left(2 x^{1 / 3}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y = x^{2/3}\bigl(2x^{1/3}-1\bigr).
Informações dadas:
  • A função está escrita como produto de duas expressões com potências racionais em x.
    O que é pedido:
  • Calcular y'=\dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Antes de aplicar regras de derivação, é mais simples tentar simplificar a função usando propriedades de potências. Lembre que para potências com a mesma base vale a regra
x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b},
para quaisquer a,b (quando os termos estão bem definidos). Aplicando isso ao produto x^{2/3}\cdot x^{1/3} obtemos
x^{2/3}\cdot x^{1/3}=x^{(2/3)+(1/3)}=x^{1}=x.
Portanto podemos expandir y:
y = x^{2/3}\bigl(2x^{1/3}-1\bigr)=2\bigl(x^{2/3}x^{1/3}\bigr)-x^{2/3}=2x-x^{2/3}.

Passo 3

Agora usamos a regra básica de derivação para soma/diferença e a regra da potência.
  • Regra da soma: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer expoente n real (ou racional) vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui também usaremos que a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante multiplicativa c é c vezes a derivada da função (linearidade).

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo em y=2x-x^{2/3}:
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot\frac{d}{dx}(x)=2\cdot 1=2.
Derivada do segundo termo usando a regra da potência com n=\tfrac{2}{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr)=\frac{2}{3}x^{(2/3)-1}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Subtraindo, a derivada da função é
y'=2-\frac{2}{3}x^{-1/3}.

Passo 5

Interpretação e forma equivalente:
  • A expressão x^{-1/3} significa \dfrac{1}{x^{1/3}}. Então uma forma equivalente é
y'=2-\frac{2}{3}\,x^{-1/3}=2-\frac{2}{3x^{1/3}}.
  • Outra forma que pode ser útil para evitar expoentes negativos é colocar em única fração:
y'=\frac{6x^{1/3}-2}{3x^{1/3}}=\frac{2\bigl(3x^{1/3}-1\bigr)}{3x^{1/3}}.
  • Observação sobre domínio: a derivada escrita com x^{-1/3} não está definida em x=0. A própria função y está definida em x=0 (pois y(0)=0), mas y' não existe em x=0 porque o termo x^{-1/3} diverge aí.

Resposta

y'=2-\dfrac{2}{3}x^{-1/3} (derivada não existe em x=0).

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