Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f(x)=1 / x, no qual a reta tangente é paralela à:
segunda bissetriz, isto é, y=-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e pede pontos onde a reta tangente é paralela à segunda bissetriz:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Reta à qual queremos paralelismo: y=-x.
O que é pedido: determinar todos os pontos (x,f(x)) da curva y=f(x) tais que a reta tangente à curva nesses pontos seja paralela à reta y=-x.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x} (definida para x\neq0).
  • A reta y=-x tem coeficiente angular (inclinação) igual a -1.

Passo 2

Conceito principal que vamos usar (explicado devagar):
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa a é o valor da derivada f'(a).
  • A derivada de f em a é, por definição,
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x. Aqui a é o ponto onde avaliamos a inclinação; f(a) é a ordenada correspondente. Essa fórmula dá a taxa de variação instantânea de f em a, que é exatamente a inclinação da tangente.
Exemplo simples para intuir: se f(x)=x^2, então
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2a+h)=2a,
ou seja, a inclinação da tangente em x=a é 2a.

Passo 3

Aplicando a ideia à nossa função f(x)=\dfrac{1}{x}.
É conveniente reescrever f como potência:
f(x)=x^{-1}.
Usando a regra do poder (power rule) que diz que, para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
onde x é a variável independente e n é o expoente, obtemos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Aqui f'(x) é a inclinação da tangente em qualquer ponto de abscissa x (desde que x\neq0).

Passo 4

Queremos que a reta tangente seja paralela à reta y=-x. A inclinação de y=-x é -1. Portanto devemos resolver a equação
f'(x)=-1.
Substituindo f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} na equação:
-\frac{1}{x^{2}}=-1.
Multiplicando ambos os lados por -1:
\frac{1}{x^{2}}=1.
Invertendo ou rearranjando:
x^{2}=1.
Assim
x=\pm 1.
Observação: x=0 não é permitido pois f não está definida em 0; aqui não apareceu 0 como solução, então tudo bem.

Passo 5

Agora encontramos as ordenadas correspondentes substituindo na função f(x)=\dfrac{1}{x}:
  • Para x=1:
f(1)=\frac{1}{1}=1,
logo ponto (1,1).
  • Para x=-1:
f(-1)=\frac{1}{-1}=-1,
logo ponto (-1,-1).

Passo 6

(Só para reforçar a intuição: as tangentes nesses pontos têm realmente inclinação -1.) Podemos também escrever as equações das retas tangentes usando a forma ponto-declive y-y_{0}=m(x-x_{0}), com m=-1:
  • Em (1,1):
y-1=-1\,(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-x+2.
  • Em (-1,-1):
y+1=-1\,(x+1)\quad\Rightarrow\quad y=-x-2.
Essas duas retas são paralelas entre si e ambas têm inclinação -1, logo são paralelas à reta y=-x.

Resposta

(1,1)
(-1,-1)

Exercícios relacionados