Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva
, no qual a reta tangente é paralela à:
segunda bissetriz, isto é,
segunda bissetriz, isto é,
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede pontos onde a reta tangente é paralela à segunda bissetriz:
- Função:
. - Reta à qual queremos paralelismo:
.
O que é pedido: determinar todos os pontos
da curva
tais que a reta tangente à curva nesses pontos seja paralela à reta
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
(definida para ). - A reta
tem coeficiente angular (inclinação) igual a .
Passo 2
Conceito principal que vamos usar (explicado devagar):
- A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva
no ponto de abscissa é o valor da derivada . - A derivada de
em é, por definição,
onde
é um incremento pequeno em
. Aqui
é o ponto onde avaliamos a inclinação;
é a ordenada correspondente. Essa fórmula dá a taxa de variação instantânea de
em
, que é exatamente a inclinação da tangente.
Exemplo simples para intuir: se
, então
ou seja, a inclinação da tangente em
é
.
Passo 3
Aplicando a ideia à nossa função
.
É conveniente reescrever como potência:
É conveniente reescrever
Usando a regra do poder (power rule) que diz que, para qualquer expoente real
,
onde
é a variável independente e
é o expoente, obtemos a derivada:
Aqui
é a inclinação da tangente em qualquer ponto de abscissa
(desde que
).
Passo 4
Queremos que a reta tangente seja paralela à reta
. A inclinação de
é
. Portanto devemos resolver a equação
Substituindo
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Invertendo ou rearranjando:
Assim
Observação:
não é permitido pois
não está definida em
; aqui não apareceu
como solução, então tudo bem.
Passo 5
Agora encontramos as ordenadas correspondentes substituindo na função
:
- Para
:
logo ponto
.
- Para
:
logo ponto
.
Passo 6
(Só para reforçar a intuição: as tangentes nesses pontos têm realmente inclinação
.) Podemos também escrever as equações das retas tangentes usando a forma ponto-declive
, com
:
- Em
:
- Em
:
Essas duas retas são paralelas entre si e ambas têm inclinação
, logo são paralelas à reta
.