Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{2^{(2 x)} \cos (3 x)}{\operatorname{sen}(5 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2^{(2 x)} \cos (3 x)}{\operatorname{sen}(5 x)}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é uma razão (numerador dividido por denominador).
  • No numerador aparece o produto de 2^{(2x)} por \cos(3x).
  • No denominador aparece \operatorname{sen}(5x).
    O objetivo final é obter f'(x).

Passo 2

Vamos organizar a notação para trabalhar confortavelmente. Defino
u(x)=2^{(2x)}\cos(3x),\qquad v(x)=\operatorname{sen}(5x),
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.
A regra que vamos aplicar para a derivada de uma razão é a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u' é a derivada de u(x) e v' é a derivada de v(x). Nas próximas etapas calculo u' e v' passo a passo.

Passo 3

Cálculo de u'(x). Como u é produto de duas funções, uso a regra do produto:
(u\cdot w)'=u'\cdot w+u\cdot w'.
No nosso caso u_1(x)=2^{(2x)} e u_2(x)=\cos(3x), então
u'(x)=\big(2^{(2x)}\big)'\cos(3x)+2^{(2x)}\big(\cos(3x)\big)'.

Passo 4

Agora calculo cada derivada parcial (aqui uso a regra da cadeia quando necessário):
  1. Derivada de \;2^{(2x)}. Regra geral: para base positiva a,
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\ln(a)\cdot g'(x).
Aqui a=2 e g(x)=2x com g'(x)=2. Portanto
\big(2^{(2x)}\big)'=2^{(2x)}\ln 2\cdot 2=2^{(2x)}\cdot 2\ln 2.
  1. Derivada de \cos(3x). Regra: \dfrac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=3x e u'(x)=3. Logo
\big(\cos(3x)\big)'=-3\sin(3x).

Passo 5

Substituindo os resultados do passo anterior em u'(x):
u'(x)=\big(2^{(2x)}\cdot 2\ln 2\big)\cos(3x)+2^{(2x)}\big(-3\sin(3x)\big).
Fatorando 2^{(2x)} para simplificar:
u'(x)=2^{(2x)}\big(2\ln 2\cdot\cos(3x)-3\sin(3x)\big).

Passo 6

Cálculo de v'(x). Para v(x)=\operatorname{sen}(5x) usamos a regra da cadeia com a derivada de seno: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=5x e u'(x)=5. Então
v'(x)=5\cos(5x).

Passo 7

Aplicando a regra do quociente \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} e substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{\,2^{(2x)}\big(2\ln 2\cdot\cos(3x)-3\sin(3x)\big)\cdot\operatorname{sen}(5x)\;-\;2^{(2x)}\cos(3x)\cdot 5\cos(5x)\,}{\operatorname{sen}^{2}(5x)}.

Passo 8

Fatorando 2^{(2x)} no numerador para deixar a expressão mais compacta:
f'(x)=\frac{2^{(2x)}\Big[\big(2\ln 2\cdot\cos(3x)-3\sin(3x)\big)\operatorname{sen}(5x)-5\cos(3x)\cos(5x)\Big]}{\operatorname{sen}^{2}(5x)}.
Se quiser, pode reescrever o colchete agrupando os termos com \cos(3x):
\Big[\cos(3x)\big(2\ln 2\cdot\operatorname{sen}(5x)-5\cos(5x)\big)-3\sin(3x)\operatorname{sen}(5x)\Big],
mas a forma do passo anterior já é a derivada correta e legível.

Resposta

f'(x)=\frac{2^{(2x)}\Big[\big(2\ln 2\cdot\cos(3x)-3\sin(3x)\big)\operatorname{sen}(5x)-5\cos(3x)\cos(5x)\Big]}{\operatorname{sen}^{2}(5x)}

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