Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar:
- A função é uma razão (numerador dividido por denominador).
- No numerador aparece o produto de
por . - No denominador aparece
.
O objetivo final é obter.
Passo 2
Vamos organizar a notação para trabalhar confortavelmente. Defino
de modo que
A regra que vamos aplicar para a derivada de uma razão é a regra do quociente:
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. Nas próximas etapas calculo
e
passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
. Como
é produto de duas funções, uso a regra do produto:
No nosso caso
e
, então
Passo 4
Agora calculo cada derivada parcial (aqui uso a regra da cadeia quando necessário):
- Derivada de
. Regra geral: para base positiva ,
Aqui
e
com
. Portanto
- Derivada de
. Regra: . Aqui e . Logo
Passo 5
Substituindo os resultados do passo anterior em
:
Fatorando
para simplificar:
Passo 6
Cálculo de
. Para
usamos a regra da cadeia com a derivada de seno:
. Aqui
e
. Então
Passo 7
Aplicando a regra do quociente
e substituindo
:
Passo 8
Fatorando
no numerador para deixar a expressão mais compacta:
Se quiser, pode reescrever o colchete agrupando os termos com
:
mas a forma do passo anterior já é a derivada correta e legível.