Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a derivada de f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x). A pergunta é: qual é f'(x) para todo x?
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x).

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada de seno: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x. Isso significa que, ao derivar \operatorname{sen}x, o resultado é \cos x.
  • Derivada de cosseno: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen}x.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se F(x)=g(h(x)), então \dfrac{dF}{dx}=g'(h(x))\cdot h'(x). Ou seja, derivamos a função externa g avaliando em h(x) e multiplicamos pela derivada da função interna h.
  • Regra do poder (caso especial usada junto com a cadeia): \dfrac{d}{dx}u^{2}=2u\cdot u', onde u depende de x.
Vou usar essas regras para mostrar o raciocínio de duas maneiras (uma via identidade trigonométrica, outra aplicando a regra da cadeia), para você entender e poder usar em prova.

Passo 3

Método curto usando identidade trigonométrica (ideia muito útil e rápida na prova):
Lembramos a identidade trigonométrica fundamental:
\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1.
Portanto f(x)=1 para todo x. A derivada de uma constante é zero, isto é,
\frac{d}{dx}1=0.
Logo, por este raciocínio imediato,
f'(x)=0.

Passo 4

Método detalhado usando a regra da cadeia (para treinar técnica e não depender só da identidade):
Escrevemos f(x)=\big(\operatorname{sen}x\big)^{2}+\big(\cos x\big)^{2}.
Aplicando a regra da cadeia em cada parcela:
Para a primeira parcela u(x)=\big(\operatorname{sen}x\big)^{2}:
  • Função externa g(u)=u^{2} tem g'(u)=2u.
  • Função interna h(x)=\operatorname{sen}x tem h'(x)=\cos x.
    Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)^{2}=2\operatorname{sen}x\cdot\cos x.
Para a segunda parcela v(x)=\big(\cos x\big)^{2}:
  • Função externa g(u)=u^{2} tem g'(u)=2u.
  • Função interna h(x)=\cos x tem h'(x)=-\operatorname{sen}x.
    Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)^{2}=2\cos x\cdot(-\operatorname{sen}x)=-2\cos x\operatorname{sen}x.
Somando as derivadas das duas parcelas:
f'(x)=2\operatorname{sen}x\cos x-2\cos x\operatorname{sen}x=0.
Aqui dá cancelamento exato, confirmando o resultado do método curto.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova: quando vir \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x na prova, lembre imediatamente que é igual a 1 — isso resolve rápido. Se por acaso não lembrar a identidade, aplicar a regra da cadeia nas duas parcelas também é curto e mostra o cancelamento.

Resposta

f'(x)=0

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