Calcule a derivada das funções abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a derivada de
. A pergunta é: qual é
para todo
?
Informações dadas:
- A função é
.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada de seno:
. Isso significa que, ao derivar , o resultado é . - Derivada de cosseno:
. - Regra da cadeia (para funções compostas): se
, então . Ou seja, derivamos a função externa avaliando em e multiplicamos pela derivada da função interna . - Regra do poder (caso especial usada junto com a cadeia):
, onde depende de .
Vou usar essas regras para mostrar o raciocínio de duas maneiras (uma via identidade trigonométrica, outra aplicando a regra da cadeia), para você entender e poder usar em prova.
Passo 3
Método curto usando identidade trigonométrica (ideia muito útil e rápida na prova):
Lembramos a identidade trigonométrica fundamental:
Lembramos a identidade trigonométrica fundamental:
Portanto
para todo
. A derivada de uma constante é zero, isto é,
Logo, por este raciocínio imediato,
Passo 4
Método detalhado usando a regra da cadeia (para treinar técnica e não depender só da identidade):
Escrevemos .
Aplicando a regra da cadeia em cada parcela:
Escrevemos
Aplicando a regra da cadeia em cada parcela:
Para a primeira parcela
:
- Função externa
tem . - Função interna
tem .
Aplicando a cadeia:
Para a segunda parcela
:
- Função externa
tem . - Função interna
tem .
Aplicando a cadeia:
Somando as derivadas das duas parcelas:
Aqui dá cancelamento exato, confirmando o resultado do método curto.
Passo 5
Interpretação final e dica para prova: quando vir
na prova, lembre imediatamente que é igual a
— isso resolve rápido. Se por acaso não lembrar a identidade, aplicar a regra da cadeia nas duas parcelas também é curto e mostra o cancelamento.