Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) : f(x)=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right), \quad x_{o}=1.
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a derivada:
O que se pede: calcular f^{\prime}\!\bigl(x_{o}\bigr), isto é, encontrar a derivada de f e avaliá-la em x=1.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da função (sem nomear a técnica ainda): f é uma composição — há uma função dentro de outra. Para ver isso de forma clara, escrevo
Agora a regra que vale para derivar compostos diz que, quando f(x)=g(u(x)), a derivada é obtida multiplicando a derivada da função externa, avaliada na interna, pela derivada da função interna. Em forma simbólica:
\text{se } f(x)=g(u(x)) \text{ então } f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
u(x) é a função interna (dependendo de x).
g(u) é a função externa (dependendo de u).
g'\bigl(u(x)\bigr) é a derivada da externa, avaliada em u(x).
u'(x) é a derivada da interna.
Passo 3
Calculo as derivadas necessárias separadamente:
Derivada da externa: para qualquer variável u,
\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u).
Isto é padrão: a derivada do seno é o cosseno.
Derivada da interna: para qualquer x,
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto é padrão: a exponencial tem derivada igual a si mesma.
Passo 4
Aplico a regra do passo 2 com os resultados do passo 3:
Como reforço prático: um exemplo parecido e simples é \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\cos\bigl(x^{2}\bigr). A ideia é a mesma: derivar o externo e multiplicar pela derivada do interno.
Passo 5
Agora avalio em x_{o}=1. Substituo x=1 na expressão da derivada: