Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) :
f(x)=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right), \quad x_{o}=1.

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a derivada:
  • Função: f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr).
  • Ponto: x_{o}=1.
O que se pede: calcular f^{\prime}\!\bigl(x_{o}\bigr), isto é, encontrar a derivada de f e avaliá-la em x=1.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da função (sem nomear a técnica ainda): f é uma composição — há uma função dentro de outra. Para ver isso de forma clara, escrevo
u(x)=e^{x}\qquad\text{(função interna)}çã
g(u)=\operatorname{sen}(u)\qquad\text{(função externa)}çã
então f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).
Agora a regra que vale para derivar compostos diz que, quando f(x)=g(u(x)), a derivada é obtida multiplicando a derivada da função externa, avaliada na interna, pela derivada da função interna. Em forma simbólica:
\text{se } f(x)=g(u(x)) \text{ então } f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é a função interna (dependendo de x).
  • g(u) é a função externa (dependendo de u).
  • g'\bigl(u(x)\bigr) é a derivada da externa, avaliada em u(x).
  • u'(x) é a derivada da interna.

Passo 3

Calculo as derivadas necessárias separadamente:
  • Derivada da externa: para qualquer variável u,
\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u).
Isto é padrão: a derivada do seno é o cosseno.
  • Derivada da interna: para qualquer x,
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto é padrão: a exponencial tem derivada igual a si mesma.

Passo 4

Aplico a regra do passo 2 com os resultados do passo 3:
f'(x)=\underbrace{\cos\bigl(u(x)\bigr)}_{g'(u(x))}\cdot\underbrace{u'(x)}_{e^{x}} = \cos\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}.
É costume escrever a exponencial primeiro, então
f'(x)=e^{x}\cos\bigl(e^{x}\bigr).
Como reforço prático: um exemplo parecido e simples é \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\cos\bigl(x^{2}\bigr). A ideia é a mesma: derivar o externo e multiplicar pela derivada do interno.

Passo 5

Agora avalio em x_{o}=1. Substituo x=1 na expressão da derivada:
f'\bigl(1\bigr)=e^{1}\cos\bigl(e^{1}\bigr)=e\cos(e).

Resposta

f'\bigl(1\bigr)=e\cos(e)

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