Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \operatorname{sec} 3 x \operatorname{tg} 3 x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedidot: calcular a integral \displaystyle \int \operatorname{sec} 3x \operatorname{tg} 3x\,dx.
  • Informação dada: a função integranda é \operatorname{sec}(3x)\tan(3x) e a variável de integração é x.
  • Objetivo final: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}(3x)\tan(3x).

Passo 2

Relembrando uma fórmula útil (aula rápida sobre derivadas que usamos para integrar):
  • Sabemos que a derivada da função secante é a secante vezes a tangente. Em notação matemática:
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sec} u\big)=\operatorname{sec} u\;\tan u.
Aqui u é uma variável qualquer. Isso significa que, se na integral aparecer \operatorname{sec} u\;\tan u com respeito a u, a primitiva é simplesmente \operatorname{sec} u (mais uma constante). Essa observação é a chave para integrar expressões do tipo \operatorname{sec}(\cdot)\tan(\cdot).

Passo 3

Reconhecendo a estrutura da integral e aplicando a técnica de substituição:
  • No nosso caso a parte interna é 3x. Ou seja, se fizermos a substituição
u=3x,
então
du=3\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
  • Substituindo na integral original, obtemos (mostrando passo a passo):
\int \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot \frac{du}{3}.
  • Podemos tirar a constante \dfrac{1}{3} fora da integral:
\int \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du.

Passo 4

Integrando em u usando a fórmula lembrada no Passo 2:
  • Como \dfrac{d}{du}(\operatorname{sec} u)=\operatorname{sec} u\tan u, uma primitiva de \operatorname{sec} u\tan u em termos de u é \operatorname{sec} u.
  • Portanto,
\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du = \frac{1}{3}\operatorname{sec}(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x:
  • Relembrando que u=3x, substitui-se de volta:
  • A primitiva em termos de x é obtida substituindo u por 3x na expressão do Passo 4.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{sec} 3x + C

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