Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedidot: calcular a integral
. - Informação dada: a função integranda é
e a variável de integração é . - Objetivo final: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Relembrando uma fórmula útil (aula rápida sobre derivadas que usamos para integrar):
- Sabemos que a derivada da função secante é a secante vezes a tangente. Em notação matemática:
Aqui
é uma variável qualquer. Isso significa que, se na integral aparecer
com respeito a
, a primitiva é simplesmente
(mais uma constante). Essa observação é a chave para integrar expressões do tipo
.
Passo 3
Reconhecendo a estrutura da integral e aplicando a técnica de substituição:
- No nosso caso a parte interna é
. Ou seja, se fizermos a substituição
então
- Substituindo na integral original, obtemos (mostrando passo a passo):
- Podemos tirar a constante
fora da integral:
Passo 4
Integrando em
usando a fórmula lembrada no Passo 2:
- Como
, uma primitiva de em termos de é . - Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
:
- Relembrando que
, substitui-se de volta: - A primitiva em termos de
é obtida substituindo por na expressão do Passo 4.