Calcule a derivada das funções abaixo:
\mathrm{G}(\mathrm{t})=\frac{1}{3} e^{3-t}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi dada a função \displaystyle G(t)=\frac{1}{3}e^{3-t}.
  • A pergunta é: calcular a derivada de G em relação a t, ou seja, encontrar \displaystyle G'(t).

Passo 2

Relembrando duas regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(t) é uma função, então
\frac{d}{dt}\bigl(c\cdot f(t)\bigr)=c\cdot f'(t).
Isto significa que uma constante pode sair da derivada.
  • Regra da cadeia para exponencial: se u(t) é uma função de t, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}.
Ou seja, derivar uma exponencial exige primeiro derivar o expoente u(t) (isso é u'(t)) e depois multiplicar pelo próprio e^{u(t)}.

Passo 3

Identificar a parte interna (o expoente) da exponencial:
  • No caso, o expoente é u(t)=3-t.
  • Agora calculamos a derivada de u(t):
u'(t)=\frac{d}{dt}(3-t)=0-1=-1,
porque a derivada de uma constante ( 3) é 0 e a derivada de -t é -1.

Passo 4

Aplicar as regras: primeiro a regra do fator constante, depois a regra da cadeia para a exponencial.
G'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{3}e^{3-t}\right) =\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{3-t}\bigr) =\frac{1}{3}\cdot\bigl(u'(t)e^{u(t)}\bigr) =\frac{1}{3}\cdot(-1)\,e^{3-t}.
Simplificando:
G'(t)=-\frac{1}{3}e^{3-t}.

Passo 5

Uma rápida verificação alternativa (opcional, só pra ganhar confiança): escrever e^{3-t}=e^{3}e^{-t}. Então
G(t)=\frac{e^{3}}{3}\,e^{-t}
e a derivada de e^{-t} é -e^{-t}, resultando em
G'(t)=\frac{e^{3}}{3}\cdot(-e^{-t})=-\frac{1}{3}e^{3-t},
que coincide com o resultado acima. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no procedimento!

Resposta

\displaystyle G'(t)=-\frac{1}{3}e^{3-t}

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