Calcule a derivada das funções abaixo:
\mathrm{F}(\mathrm{x})=\frac{2 x+4}{3 x^{2}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional e pede sua derivada. As informações são:
  • Função: F(x)=\dfrac{2x+4}{3x^{2}+2x+1}.
  • Pedido: calcular F'(x), a derivada de F em relação a x.

Passo 2

Usaremos a regra do quociente. Vou escrevê-la e explicar cada parte:
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x;
  • o resultado é a razão entre a diferença u'v-uv' e o quadrado de v.
A regra do quociente vem da combinação da regra do produto com a regra da derivada de 1/v; é a técnica padrão para derivar uma função que é uma divisão de duas funções.

Passo 3

Identificamos u e v para a nossa função e calculamos suas derivadas:
u(x)=2x+4,\qquad v(x)=3x^{2}+2x+1.
Derivando termo a termo (regra: a derivada de ax+b é a, e de ax^{2} é 2ax):
u'(x)=2, \qquad v'(x)=6x+2.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do quociente calculando primeiro u'(x)\,v(x) e u(x)\,v'(x).
Calcule u'(x)\,v(x):
u'(x)\,v(x)=2\cdot(3x^{2}+2x+1)=6x^{2}+4x+2.
Calcule u(x)\,v'(x). Para multiplicar (2x+4)(6x+2) faça termo a termo:
(2x+4)(6x+2)=2x\cdot6x+2x\cdot2+4\cdot6x+4\cdot2=12x^{2}+4x+24x+8=12x^{2}+28x+8.
Subtraindo:
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)=(6x^{2}+4x+2)-(12x^{2}+28x+8).
Agora realize a subtração coeficiente a coeficiente:
6x^{2}-12x^{2}=-6x^{2},\qquad 4x-28x=-24x,\qquad 2-8=-6.
Logo o numerador fica
-6x^{2}-24x-6.
Fatorando o fator comum -6:
-6x^{2}-24x-6=-6\bigl(x^{2}+4x+1\bigr).

Passo 5

O denominador da fórmula é \bigl(v(x)\bigr)^{2}. Aqui:
\bigl(v(x)\bigr)^{2}=\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)^{2}.
Não é necessário expandir esse quadrado; é mais claro e mais compacto deixá-lo em forma de quadrado.

Passo 6

Agora juntamos numerador e denominador pela regra do quociente:
F'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{-6\bigl(x^{2}+4x+1\bigr)}{\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)^{2}}.
Podemos escrever de forma mais direta:
F'(x)=-6\;\frac{x^{2}+4x+1}{\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)^{2}}.

Resposta

-6\,\dfrac{x^{2}+4x+1}{\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)^{2}}

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