Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função racional e pede sua derivada. As informações são:
- Função:
. - Pedido: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Usaremos a regra do quociente. Vou escrevê-la e explicar cada parte:
Aqui:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a ; - o resultado é a razão entre a diferença
e o quadrado de .
A regra do quociente vem da combinação da regra do produto com a regra da derivada de
; é a técnica padrão para derivar uma função que é uma divisão de duas funções.
Passo 3
Identificamos
e
para a nossa função e calculamos suas derivadas:
Derivando termo a termo (regra: a derivada de
é
, e de
é
):
Passo 4
Aplicamos a fórmula do quociente calculando primeiro
e
.
Calcule
:
Calcule
. Para multiplicar
faça termo a termo:
Subtraindo:
Agora realize a subtração coeficiente a coeficiente:
Logo o numerador fica
Fatorando o fator comum
:
Passo 5
O denominador da fórmula é
. Aqui:
Não é necessário expandir esse quadrado; é mais claro e mais compacto deixá-lo em forma de quadrado.
Passo 6
Agora juntamos numerador e denominador pela regra do quociente:
Podemos escrever de forma mais direta: