Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes:
-
e são constantes (parâmetros). - Para que a função esteja bem definida na forma dada é necessário
(pois há divisão por ). - Quer-se
, a derivada em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Regra da constante por uma função: se
é constante e é diferenciável, então
Aqui
.
- Regra da cadeia (para potência de função): se
é diferenciável e é inteiro, então
Isso significa que primeiro “trazemos para frente” o expoente
e multiplicamos pela derivada da parte interna
.
- Derivadas básicas que usaremos:
- Derivada de
é : . - Derivada de
com constante é : . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Exemplo curto para fixar:
(aqui a derivada da parte interna
é
).
Passo 3
Aplicando essas ideias à função dada: defina a função interna
Então
.
Primeiro calcule
usando as derivadas básicas:
Como
e
são constantes,
Portanto
Passo 4
Agora aplique a regra da constante e a regra da cadeia à
:
pela regra da constante,
pela regra da constante,
pela regra da cadeia,
Combinando:
Substituindo
e
obtemos a expressão intermediária
Passo 5
Uma forma alternativa de escrever a mesma derivada é fatorar
em
:
logo
e assim
As duas formas são equivalentes; mantenha aquela que achar mais prática na prova.