Calcule a derivada das funções abaixo:
\mathrm{H}(\mathrm{x})=\frac{1}{a}\left(b x^{2}+a x\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathrm{H}(\mathrm{x})=\frac{1}{a}\left(b x^{2}+a x\right)^{3}
e pede para calcular a derivada \mathrm{H}'(\mathrm{x}).
Informações relevantes:
  • a e b são constantes (parâmetros).
  • Para que a função esteja bem definida na forma dada é necessário a\neq 0 (pois há divisão por a).
  • Quer-se \mathrm{H}'(\mathrm{x}), a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Regra da constante por uma função: se k é constante e f(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(k\cdot f(x)\big)=k\cdot f'(x).
Aqui k=\dfrac{1}{a}.
  1. Regra da cadeia (para potência de função): se u(x) é diferenciável e n é inteiro, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)^n\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Isso significa que primeiro “trazemos para frente” o expoente n e multiplicamos pela derivada da parte interna u'(x).
  1. Derivadas básicas que usaremos:
  • Derivada de x^{2} é 2x: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivada de k x com k constante é k: \dfrac{d}{dx}(k x)=k.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Exemplo curto para fixar: \dfrac{d}{dx}(2x+1)^{3}=3(2x+1)^{2}\cdot 2 (aqui a derivada da parte interna 2x+1 é 2).

Passo 3

Aplicando essas ideias à função dada: defina a função interna
u(x)=b x^{2}+a x.
Então \mathrm{H}(x)=\dfrac{1}{a}\,u(x)^{3}.
Primeiro calcule u'(x) usando as derivadas básicas:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(b x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(a x\big).
Como b e a são constantes,
\frac{d}{dx}\big(b x^{2}\big)=b\cdot 2x=2b x, \qquad \frac{d}{dx}\big(a x\big)=a.
Portanto
u'(x)=2b x + a.

Passo 4

Agora aplique a regra da constante e a regra da cadeia à \mathrm{H}(x):
pela regra da constante,
\mathrm{H}'(x)=\frac{1}{a}\cdot\frac{d}{dx}\big(u(x)^{3}\big).
pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{3}\big)=3\,u(x)^{2}\,u'(x).
Combinando:
\mathrm{H}'(x)=\frac{1}{a}\cdot 3\,u(x)^{2}\,u'(x).
Substituindo u(x)=b x^{2}+a x e u'(x)=2b x + a obtemos a expressão intermediária
\mathrm{H}'(x)=\frac{3}{a}\,\big(b x^{2}+a x\big)^{2}\,\big(2b x + a\big).

Passo 5

Uma forma alternativa de escrever a mesma derivada é fatorar x em u(x):
b x^{2}+a x = x\,(b x + a),
logo
\big(b x^{2}+a x\big)^{2}=x^{2}\,(b x + a)^{2},
e assim
\mathrm{H}'(x)=\frac{3}{a}\,x^{2}\,(b x + a)^{2}\,(2b x + a).
As duas formas são equivalentes; mantenha aquela que achar mais prática na prova.

Resposta

\mathrm{H}'(x)=\dfrac{3}{a}\,\big(b x^{2}+a x\big)^{2}\,\big(2b x + a\big)

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