Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
, com
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
, e pede para calcular a derivada
, simplificando sempre que possível. Informações relevantes a listar:
- A função está escrita em termos de
e do parâmetro . - Para que
esteja bem definida é necessário que e (pois há divisão por ). - O objetivo é encontrar
de forma simplificada.
Passo 2
Escolha do método: em vez de aplicar diretamente a regra do quociente, é mais simples primeiro reescrever a função como soma/diferença de termos mais simples (frações elementares). Isso evita contas desnecessárias e usa regras básicas de derivação (regra da potência e multiplicação por constante), que são mais diretas e menos propensas a erro numa prova. Vou fazer essa simplificação algébrica e depois derivar termo a termo.
Passo 3
Reescrever
separando a fração em duas parcelas. Como
,
Simplificando cada parcela:
Portanto temos a forma mais simples
Passo 4
Lembrete das regras de derivação que vou usar:
- Regra da potência (para
real): a derivada de em relação a é . Aqui é a variável independente e o expoente. - A derivada de uma constante multiplicando
é essa constante: se é constante então . - A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:
.
Vou aplicar essas regras termo a termo em
.
Passo 5
Calcular as derivadas dos termos:
- Escrever
como . Aplicando a regra da potência com :
- Para
, é constante em relação a , então
Assim, derivando
obtemos
Passo 6
Simplificar a expressão colocando em um único quociente. O denominador comum é
. Colocando os termos sobre esse denominador:
Portanto a forma simplificada da derivada é
valendo para
e
.