Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2} x}, com a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}x},
com a\in\mathbb{R}, e pede para calcular a derivada f'(x), simplificando sempre que possível. Informações relevantes a listar:
  • A função está escrita em termos de x e do parâmetro a.
  • Para que f esteja bem definida é necessário que a\neq0 e x\neq0 (pois há divisão por a^{2}x).
  • O objetivo é encontrar f'(x) de forma simplificada.

Passo 2

Escolha do método: em vez de aplicar diretamente a regra do quociente, é mais simples primeiro reescrever a função como soma/diferença de termos mais simples (frações elementares). Isso evita contas desnecessárias e usa regras básicas de derivação (regra da potência e multiplicação por constante), que são mais diretas e menos propensas a erro numa prova. Vou fazer essa simplificação algébrica e depois derivar termo a termo.

Passo 3

Reescrever f(x) separando a fração em duas parcelas. Como a\neq0,
f(x)=\frac{a^{2}}{a^{2}x}-\frac{x^{2}}{a^{2}x}.
Simplificando cada parcela:
\frac{a^{2}}{a^{2}x}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{x^{2}}{a^{2}x}=\frac{x}{a^{2}}.
Portanto temos a forma mais simples
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{x}{a^{2}}.

Passo 4

Lembrete das regras de derivação que vou usar:
  • Regra da potência (para n real): a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. Aqui x é a variável independente e n o expoente.
  • A derivada de uma constante multiplicando x é essa constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c.
  • A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas: \dfrac{d}{dx}(u\pm v)=u'\pm v'.
Vou aplicar essas regras termo a termo em f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{a^{2}}.

Passo 5

Calcular as derivadas dos termos:
  • Escrever \dfrac{1}{x} como x^{-1}. Aplicando a regra da potência com n=-1:
\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
  • Para \dfrac{x}{a^{2}}, 1/a^{2} é constante em relação a x, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{a^{2}}\right)=\frac{1}{a^{2}}\frac{d}{dx}(x)=\frac{1}{a^{2}}.
Assim, derivando f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{a^{2}} obtemos
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{a^{2}}.

Passo 6

Simplificar a expressão colocando em um único quociente. O denominador comum é a^{2}x^{2}. Colocando os termos sobre esse denominador:
-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=-\frac{a^{2}}{a^{2}x^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}x^{2}}=-\frac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}x^{2}}.
Portanto a forma simplificada da derivada é
f'(x)=-\frac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}x^{2}},
valendo para a\neq0 e x\neq0.

Resposta

f'(x)=-\frac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}x^{2}}

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