Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=\frac{\operatorname{cosh} x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\operatorname{cosh} x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{x^{2}}.
  • Deve-se derivar e simplificar o resultado sempre que possível.
    Observação: f não está definida em x=0 porque há divisão por x^{2}.

Passo 2

Lembrando a regra que vamos usar: a regra do quociente. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^{2}}.
Aqui u é o numerador e v é o denominador. Vou aplicar essa fórmula com u(x)=\operatorname{cosh} x e v(x)=x^{2}.

Passo 3

Calcular as derivadas das partes:
  • Para u(x)=\operatorname{cosh} x, a derivada é conhecida: \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x. (Lembre: \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, e \operatorname{cosh}'=\operatorname{sinh}.)
  • Para v(x)=x^{2}, a derivada é \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
Portanto u'(x)=\operatorname{sinh} x e v'(x)=2x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}=\frac{(\operatorname{sinh} x)\,x^{2} - (\operatorname{cosh} x)\,2x}{(x^{2})^{2}}.
Simplificando o denominador (x^{2})^{2}=x^{4}, obtemos
f'(x)=\frac{x^{2}\operatorname{sinh} x - 2x\operatorname{cosh} x}{x^{4}}.

Passo 5

Fatorando x no numerador para simplificar:
x^{2}\operatorname{sinh} x - 2x\operatorname{cosh} x = x\bigl(x\operatorname{sinh} x - 2\operatorname{cosh} x\bigr).
Assim
f'(x)=\frac{x\bigl(x\operatorname{sinh} x - 2\operatorname{cosh} x\bigr)}{x^{4}}=\frac{x\operatorname{sinh} x - 2\operatorname{cosh} x}{x^{3}},
onde foi cancelado um x (válido porque x\neq0, que já era excluído do domínio da função).

Passo 6

Verificação alternativa (útil para a prova): escrever f(x)=\operatorname{cosh} x\cdot x^{-2} e usar a regra do produto mais a regra da cadeia:
f'(x)=\operatorname{sinh} x\cdot x^{-2} + \operatorname{cosh} x\cdot(-2)x^{-3}=\frac{\operatorname{sinh} x}{x^{2}}-\frac{2\operatorname{cosh} x}{x^{3}}=\frac{x\operatorname{sinh} x-2\operatorname{cosh} x}{x^{3}},
que é o mesmo resultado — bom sinal de consistência.

Resposta

\displaystyle \frac{x\operatorname{sinh} x-2\operatorname{cosh} x}{x^{3}}

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