Calcule a derivada das funções abaixo, utilizando as regras de derivação.
f(u)=(4 u^2-a)(a-2 u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de Cálculo, especificamente as regras de derivação. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função:
  • f'(u) = u1'(u) cdot u2(u) + u1(u) cdot u2'(u)
A Regra do Produto diz que se temos uma função , então a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u1'(u) = 8u e u2'(u) = -2 :
  • Derivada de :
    Como é uma constante, a derivada de é e a derivada de é 0. Portanto:
  • Derivada de :
    Novamente, é constante. A derivada de é 0 e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Produto:
f'(u) = u1'(u) cdot u2(u) + u1(u) cdot u2'(u)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(u) = (8u) cdot (a - 2u) + (4u^2 - a) cdot (-2)
Vamos simplificar cada parte:

Passo 5

Agora, somamos as duas partes:
f'(u) = (8ua - 16u^2) + (-8u^2 + 2a) = 8ua - 16u^2 -8u^2 + 2a
Combinando termos semelhantes:
f'(u) = 8ua + 2a - 24u^2
Podemos fatorar f'(u) = a(8u + 2) - 24u^2 = 2a(4u + 1) - 24u^2 para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:
f'(u) = 8ua + 2a - 24u^2

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